1 . 如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．

3 . 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师对某道习题进行改编：如图1，中，，，作的边上的高，将绕点 逆时针旋转得到．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
猜想与证明：（2）如图2，连接，顺次连接的中点G，H，I，得到，判断的形状，并加以证明；
探索发现：（3）如图3，有同学发现与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．

4 . 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

   

（）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案

5 . 如图，在边长为5的正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．则______，当E点从A点运动到C点时，点F的运动路径长是__________．

   

6 . 在中，是等边三角形，连接．

(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，交于点P，且．若，求的长；
(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，E在直线上运动，将沿翻折得到，连接，G是上一点，且，O是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点D到直线的距离．

7 . 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点，在网格中．

(1)画出关于直线MN的对称图形；
(2)画出关于点O的中心对称图形；
(3)在上找一点D使得．

8 . 如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为________．

9 . 如图所示，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

10 . 如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．