1 . 如图1，在正方形
中，
，O是边
的中点，E是正方形内一动点，且
，连接
，将线段绕点D逆时针旋转
得
，连接
．
；
(2)求
的面积的最小值；
(3)如图2，若A，E，O三点共线，求点 F到直线的距离．
中，，O是边的中点，E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．
；(2)求
的面积的最小值；(3)如图2，若A，E，O三点共线，求点 F到直线
的距离．
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2 . 如图，
是等边
的外接圆．
，连结
，延长交弦于点
，交于点
．连结
、
．求证：
；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
∴
，
，
∴
，则
为等边三角形，
同理可得：
也为等边三角形，
∴
．
【方法应用】如图2，若为上任意一点，连结
，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若的半径为
，且为上一点，且
，则四边形
的面积的是______．
是等边的外接圆．
，连结，延长交弦于点，交于点．连结、．求证：；【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且
为等边三角形，∴
，，∴
，则为等边三角形，同理可得：
也为等边三角形，∴
．【方法应用】如图2，若
为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【拓展提升】如图③，若
的半径为，且为上一点，且，则四边形的面积的是______．
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2024九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习
3 . 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边
上两点，且
，连接
，
，与相交于点．与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至P，连接
，若
，求线段
的长．
中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．
与的数量关系和位置关系，并证明；(2)拓展提高：如图2，延长
至P，连接，若，求线段的长．
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4 . 如图，在正方形中，
，E和F分别是边
，
上的点，且
，
和
交于点O，P为
的中点，则
______ ．
中，，E和F分别是边，上的点，且，和交于点O，P为的中点，则
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5 . （1）如图1，图2，图3，在中，分别以
为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，
相交于点O．
______；
②探究：如图1，
______
；
如图2，______；
如图3，______；
（2）如图4，已知：
是以为边向外所作正n边形的一组邻边；
，
是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）．
中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O．
______；②探究：如图1，
______；如图2，
______；如图3，
______；（2）如图4，已知：
是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）．
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6 . 如图，在和
中，
，且
．连接
，
．
．
(2)在图2中，点
，
，
在同一直线上，且点在上，若
，求
的值（用含
，
的代数式表示）．
和中，，且．连接，．
．(2)在图2中，点
，，在同一直线上，且点在上，若，求的值（用含，的代数式表示）．
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名校
7 . 已知：如图，在平行四边形
中，对角线
与
相交于点，点
为
的中点，连接
，的延长线交
的延长线于点
，连接
．
；
(2)当
满足 时，四边形
为正方形．
中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．
；(2)当
满足 时，四边形为正方形．
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165次组卷
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6卷引用：2024年3月江苏省南京市金陵中学河西分校九年级中考数学模拟预测题
2024年3月江苏省南京市金陵中学河西分校九年级中考数学模拟预测题2024年3月江苏省南京市金陵中学河西分校九年级中考数学模拟试题（已下线）重难点02 四边形综合（8大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）（已下线）热点06 轴对称与中心对称（14大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（江苏专用）（已下线）2024年江苏省南京市宁海中学中考数学二模试题（已下线）查补重难点06 四边形与特殊四边形-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（江苏专用）
名校
8 . 【问题探究】
（1）如图1，已知
中，
，
，
，点D是的中点，连接，则的长为________．
（2）如图2，已知中，
，P为内一点，且
，
，请求出
的长度；
【问题解决】
（3）如图3，四边形中，
，
，
，
，
，点P为四边形内一点，且始终有
，连接
，请问是否存在一点P，使得
的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．
（1）如图1，已知
中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________．（2）如图2，已知
中，，P为内一点，且，，请求出的长度；【问题解决】
（3）如图3，四边形
中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．
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9 . 如图，和
均为等腰直角三角形，
，A，C，D三点在一条直线上，延长交于点F．
；
(2)若
，
，求的长．
和均为等腰直角三角形，，A，C，D三点在一条直线上，延长交于点F．
；(2)若
，，求的长．
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名校
10 . 如图，点是等边三角形
边的中点，点是三角形内一点，连接
，将线段以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则的最小值为_____________________ ．
是等边三角形边的中点，点是三角形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为
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