1 . 【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板的直角顶点O放置在另一块直角三角板的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．

(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点P，Q时（规定此时点P，Q分别在边上运动）．
①如图1，当时，与的数量关系为_________；
②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在一个数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积始终保持不变，请你判断嘉淇的结论是否正确，并说明理由；若，求出四边形的面积；
(2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，直接写出线段长的最小值和最大值．

2 . 如图，和中，，边与边交于点（不与点重合），点在异侧．

（1）若，则______________；
（2）当时，设，请用含的式子表示______________，并求出的最大值为______________．

3 . 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为_____．

4 . 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．

   

(1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
(2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
(3)如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，在中，，在底边上取点P，连接，将线段绕点P顺时针旋转，得线段，过点E作交或其延长线于点H．
   
(1)面积的最大值为___________．
(2)当时，求的值．
(3)“当时，把点P取在腰上，比如取在上，然后把绕P顺时针旋转，得到线段，再过E作的垂线，交或其延长线于H，则的值也是确定不变的”你认为这个结论对吗，请在备用图上画出示意图，并说明理由．
   
(4)你能根据上面的解答过程得出更一般的结论吗？

7 . 如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．

(1)当点在上运动时，过点作于，
①当时，求证：；
②设的面积为，用含的代数式表示，并求当为何值时，有最大值；
(2)当直线等分的面积时求的值，并判断此时点落在的哪条边上；
(3)直接写出时的值．

8 . 中，，，，，为的中点，直线经过点，过作于，过作于．则的最大值为（       ）

A．2

B．

C．

D．4

10 . 如图，矩形ABCD中，，△EFG为等腰直角三角形，，点E、F分别为AB、BC边上的点（不与端点重合），．现给出以下结论：①；②点G始终在的平分线上；③点G可能在 的平分线上；④点G到边BC的距离的最大值为．其中不正确的个数是（       ）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个