1 . 如图，已知 于， 于， ．求证：．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为_____．
   

3 . 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，连接，点在第一象限的抛物线上，设点的横坐标为．

(1)求点、点的坐标；
(2)如图，抛物线的顶点为，过点作轴的垂线，交于点，过点作交于点，过点作轴于点，设的长为，的长为，，当取最大值时，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图，点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内点的坐标是，绕原点O顺时针旋转，则的对应点的坐标是________.

5 . 如图，，，，求证．

   

6 . 知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点．
   

7 . 如图，将矩形沿过点的直线折叠，使点恰好与其对角线的中点重合，折痕与边交于点．延长交于，连接．

(1)根据题意补全图形；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，则的长为________．

9 . 如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，，则______，______．

10 . 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：△BDE ≌△CDF．