1 . （1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，求证：．

（2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，则______．
（3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

2 . 如图，等腰直角三角形的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为，求线段的长．

3 . 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．

(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_______（填“”，“ ”或“”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F）
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长__________．

4 . 如图在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交射线于点Q，以为边向左侧作矩形，使，点P的运动时间为．

(1)当点Q在边上时，求的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点M在边上时，求t的值；
(3)当点D是边中点时，连结，当矩形的对角线交点O落在上时，则t的值__________；
(4)连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值．

5 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 ：平行四边形的对角线互相平分．
我们可以证明这个结论．
已知：如图，的对角线和相交于点O．
求证：．

   

请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
（1）证明：

   

【性质应用】
（2）如图②，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点E、F，求证：；
（3）连结AF，若，周长是16，则的周长是______．

6 . 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．

(1)证明：四边形为矩形；
(2)若，则的长为_________．

7 . 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形．

8 . 在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，四边形的面积为      ．

10 . 如图，在长方形ABCD中，，．E为AD边上一点，．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．

(1)用含有t的代数式表示的长；
(2)当时，求的面积；
(3)①当时，则t的值为______；
②当平分时，则t的值为______．
(4)当是等腰三角形时，直接写出的值．