1 . 问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：

①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．

2 . 如图1，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰，

(1)求C点的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值；
(3)如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．

3 . 在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；

【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．

4 . 如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，D、C为两个排污口．已知，，，，点D、E、C在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离．

   

5 . 如图，四边形是菱形，于点，于点．
   
(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．

6 . 如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F．

   

(1)试说明；
(2)如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．

7 . 如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接；②分别以点C，D为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，；③连接交于点M．下列结论中错误的是(       )
   

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，已知在中，，，是过点A的一条直线，于点D，于点E．
   
(1)求证：；
(2)若，，求DE的长．

9 . 如图，△在平面直角坐标系中的位置如图，其中点，点分别在轴和轴上，且和满足：，若点在第四象限，，且．   
   
(1)请直接写出点和点的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)若交轴于，交轴于，是线段上一点，且，连，求证：．

10 . 如图1，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
   
(1)求点的坐标；（用字母，表示）
(2)如图2，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．