1 . 探索与发现：
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．

   

(1)小李同学通过观察发现图中，请给出证明；
(2)探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
(3)进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．

2 . 如图，在中，，是的一个外角，平分．根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E，连接，；
(2)判断四边形的形状并证明．

3 . 如图，四边形是正方形，G是上的一点，，垂足为E，，垂足为F．

(1)求证：．
(2)若，，求的长．

4 . 已知：如图，在中，点分别在上，．

(1)请判断的位置关系，并说明理由；
(2)求证：．

5 . 如图，正方形的边长是4，M是的中点，动点在线段上运动，连接并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于点，连接，．

(1)求证：是等腰三角形．
(2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)在点运动过程中，是否可能成为等边三角形？请说明理由．

6 . 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

(1)探究1：小强看到图（1）后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，请你根据提示写出小强的证明过程．
(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．

7 . 如图，在四边形中，，，连接．

(1)求证：；
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接，若，求的度数．

8 . 如图，为平行四边形的对角线．

(1)尺规作图：作出的垂直平分线，垂足为O，分别与边交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求证：四边形是菱形．

9 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

10 . 已知：四边形中，，点E在上，且，连接、，点F是的中点，连接．若．

   

(1)求证：；
(2)当，时，求的值．