名校
1 . 如图，
中，
，延长
到点
，过点作
于点E，
与
交于点
，若
．
；
(2)若
，求
的长度．
中，，延长到点，过点作于点E，与交于点，若．
；(2)若
，求的长度．
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2 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：
的垂直平分线，垂足为点，连接
，连接
并延长交线段的延长线于点
（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形
中，
，
为
中点，为中点
猜想：
，且
．
证明：
是中点，
①______
，
在
和
中
，
，
在
中，是中点，是
中点
且③______．
请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．
的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）(2)已知：在四边形
中，，为中点，为中点猜想：
，且．证明：
是中点，①______，在
和中，，在
中，是中点，是中点且③______．请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．
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3 . 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点
重合），连接
，点
关于直线的对称点为
，连接
并延长交直线于点
，是的中点．连接
．
的度数；
(2)连接
，求证：
；
(3)连接，若正方形的边长为
，当
最小时，直接写出
的面积．
中，是边上的一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点．连接．
的度数；(2)连接
，求证：；(3)连接
，若正方形的边长为，当最小时，直接写出的面积．
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4 . 如图，在平行四边形中，
分别平分
，交分别于点E、F．已知平行四边形的周长为36．
；
(2)过点E作
于点M，若
，求
的面积．
中，分别平分，交分别于点E、F．已知平行四边形的周长为36．
；(2)过点E作
于点M，若，求的面积．
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5 . 如图，点E是正方形的边上的一点，
的平分线交的延长线于点F，交于点G．
，求
的长；
(2)求证：
．
的边上的一点，的平分线交的延长线于点F，交于点G．
，求的长；(2)求证：
．
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6 . 如图，在
中，点E在边上，连接
．
求作一点F，使得
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若
，证明：四边形
为菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴______________________
，
．
∵
，
∴
（
）．
∴
，______________________．
∵，
∴
，
∴______________________
∵，
∴四边形
是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵，
∴四边形是菱形（______________________）．（填推理依据）
中，点E在边上，连接．
求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若
，证明：四边形为菱形．证明：∵四边形
是平行四边形，∴______________________
，．∵
，∴
（）．∴
，______________________．∵
，∴
，∴______________________
∵
，∴四边形
是平行四边形（______________________）．（填推理依据）∵
，∴四边形
是菱形（______________________）．（填推理依据）
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7 . 如图，在平行四边形中，点E是
的角平分线与
的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作
的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴
，①_______________．
∴②_______________．
∵
分别平分
．
∴
，
．
∴③_________________
∵在
与
中，
∵
，
∴
．
∴，④_________________．
∴
，即
，
∴⑤________________．
∴四边形为平行四边形．
中，点E是的角平分线与的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：
的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)根据（1）中作图，求证：四边形
为平行四边形．证明：∵四边形
为平行四边形，∴
，①_______________．∴②_______________．
∵
分别平分．∴
，．∴③_________________
∵在
与中，∵
，∴
．∴
，④_________________．∴
，即，∴⑤________________．
∴四边形
为平行四边形．
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8 . 如图，在中，点是边上一动点，连接．
是边上一点，连接，若
，平分
，
．当
，
时，求线段
的长度；
(2)如图2，
，当
且
时，将线段绕着点逆时针旋转到
，使
，连接，过点作
于点，点
为边中点．连接
并延长交的延长线于点
，且
交于点
．若
，求证：
；
(3)如图3，当，
时，将线段绕着点顺时针旋转
到，是边上一点且
，连接
、．为直线上一动点，当点
、、在同一直线上时，将
沿直线
翻折到同一平面的
，连接
、
．当
最小时，直接写出
的面积．
中，点是边上一动点，连接．
是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度；(2)如图2，
，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：；(3)如图3，当
，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积．
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9 . 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等、该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系，请根据下列探究思路完成作图和填空：
(1)尺规作图：过点作
，分别交边
于点
．中，点是对角线上一点，，分别交边于点．求证：
证明：
四边形是正方形
平分
．
① ．
在
和
中，
．
，
又
，
，
，
② ．
，且
．
③ ，
．
④ ．
．
(1)尺规作图：过点
作，分别交边于点．
中，点是对角线上一点，，分别交边于点．求证：证明：
四边形是正方形平分．① ．在
和中，．，又
，，，② ．，且．③ ，．④ ．．
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10 . 学习了菱形后，小美进行了拓展性研究，她发现：菱形对角线将菱形分成四个三角形，在其中一组相对三角形中，作一组对应锐角的角平分线与所对的对角线相交，那么以这两个交点为端点的线段被菱形另一条对角线垂直平分．她的解决思路是：通过证明对应三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图 与填空 ：
的角平分线交
于点（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是菱形，
是对角线，交于点
，平分
，
平分．
求证：
，
．
四边形是菱形 
，
，
．
平分 _①_
．
平分 
． _②_．
在
与
中
_③_．
又
．
小美再进一步研究发现：分别连接这两个交点与菱形另一对角线的两个端点所形成的四边形是_④_．
的角平分线交于点（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形
是菱形，是对角线，交于点，平分，平分．求证：
，．四边形是菱形 ，， ．平分 _①_．平分 ． _②_．在
与中 _③_．又
．小美再进一步研究发现：分别连接这两个交点与菱形另一对角线的两个端点所形成的四边形是_④_．
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