2 . 如图，在矩形中，点O是对角线的中点，过点O作直线交于点E，交于点F，连接．

(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的面积．

3 . 如图，已知在四边形中， ，对角线、相交于点 O，，

(1)求证：；
(2)求证： 四边形为平行四边形．

4 . 已知： 在中，，且点 E、F 分别在矩形的边上．

(1)如图1， 当点 G在 上时， ①求证：；②当， E是的中点时， 求的长；
(2)如图2， 若F 是的中点，与相交于点 N， 连接， 求证：；
(3)如图3， 若分别交于点 M、N， 求证： ．

5 . 如图，在平行四边形中，是的中点，连接，，延长交的延长线于点．

   

(1)求证：；
(2)当时，求证：平分；

6 . 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：．

7 . 如图1，在矩形中，点M是的中点，点E是边上一动点，连接，并延长交射线于点F，过点M作的垂线交射线于点G，连接和．

(1)求证：
①；
②；
(2)在点E的运动过程中，探究：
①若矩形是正方形，则的值是否发生变化？若不变，求出这个值；
②如图2，若，，，当为等边三角形时，求k的值．

8 . 如图1，有一张矩形纸片（），将纸片折叠，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连接、和（如图2）．

   

(1)求证：①；②四边形是菱形；
(2)当，时，求折痕的长；
(3)若，求的值（用含的代数式表示）．

9 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

10 . 如图1，矩形中，，，点E在边上运动（不与点B和点C重合），将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，过点F作于点M．

(1)求证：；
(2)当直线恰好经过点E时，求的长；
(3)如图2，连接．
①当时，求的值；
②探究是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．