1 . 如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．

(1)求证：为的中点；
(2)点为的中点，连接，交于点，求证：．

2 . 如图，在平行四边形中，分别平分，交分别于点E、F．已知平行四边形的周长为36．

(1)求证：；
(2)过点E作于点M，若，求的面积．

3 . 如图，在中，，，点在的延长线上，连接．

(1)如图，当，时，求的长；
(2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：；
(3)如图，在第（）问的条件下，取的中点，点为线段上的一动点，连接，将沿HQ翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积．

4 . 已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．

(1)如图1，连接，过点C作交的延长线于点E，过点A作交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G，若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P，求证：；
(3)如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．

5 . 已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．

(1)如图1，连接，过点C作交的延长线于点E．过点A作交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G．若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P．求证：；
(3)如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．

6 . 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)证明：∵为等边三角形，
∴，______①
在和中，
，
∴，
∴______③，
又∵
∴______④，
∴．

7 . 如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E．

   

(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形．
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，，①__________
∴．
又∵、分别平分、．
∴，．
∴
在和中：

∴，
∴，③__________
∴
∴④____________________
∵
∴，．
∴四边形是平行四边形（⑤____________________）（填依据）

9 . 在中，点D为的中点，点E是边上一点，连接，．小语同学想以为对角线，构造一个平行四边形，做了如下思考；在的右侧作，边交延长线于点F，连接，则四边形即为平行四边形．请你按照小语同学的思路进行作图并证明：四边形为平行四边形．（用基本尺规作图，保留作图痕迹，不下结论）

   

证明：∵点D是的中点
∴ ①
在和中

∴
∴ ③
又∵
∴四边形为平行四边形（ ④ ）

10 . 小量想利用平行四边形构造出一个菱形．他的思路如下：如图，在平行四边形中，，在上取一点，使得，再作的角平分线交于点，然后证明四边形是有一组邻边相等的平行四边形来得到菱形．按以上思路完成作图与填空：
证明：用直尺和圆规，在截取一点，使得，连接，再作的角平分线交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹）

，平分，
是上的中线，
①，
在平行四边形中，
在和中有，
，
③，
，
四边形是平行四边形；
④，
平行四边形是菱形．