1 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

2 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

3 . 如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．

   

(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．

4 . 如图，已知中，，D为的中点，，垂足分别是点E、F，求证：．

5 . 如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　）

A．

B．

C．

D．

6 . 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则______．

   

7 . 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（　　）

   

A．

B．

C．

D．

8 . 【感知】如图①，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）．
【探究】如图②，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：．
【应用】如图③，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，连接，若，的面积为1，则四边形的面积为________．

   

9 . 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

   

(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．

10 . 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：
(1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，求与的数量关系；
②如图3，当时，求的长．
猜想论证：
(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．