1 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明．

2 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

3 . 问题情境：如图①，在中，，于点D．可知：（不需要证明）；
   
(1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边、上，且，于点F，于点D．证明：；
(2)归纳证明：如图③，点B，C在的边、上，点E，F在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
(3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为24，则与的面积之和为_____．（直接写出结果）

4 . 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

(1)求证：AM=AD+MC．
(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
(3)若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，则AM=       ．（填答案）

5 . 已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．

(1)如图1，点C在线段AB上；
①根据题意补全图1；
②求证：；
(2)如图2，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

6 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．

(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．
(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点

7 . 如图，在平面直角坐标系中，A、B分别为x轴，y轴上的点，连接，、为的角平分线，且交于点M，过M作交x轴于点G，交y轴于N点．
   
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，判断与的位置关系，并证明．

8 . 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.
（1）求证：① △AEF≌△DEB；② 四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

9 . 如图1，在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， 直线a于点M，直线a于点N，连接、；

(1) 延长交于点E(如图2)．①求证：；②求证：；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由．

10 . 证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明根据题意画出的图形，并写出不完整的已知和求证.
已知：如图，在中，，                                     .
求证：                             .
请补全已知和求证部分，并写出证明过程.