1 . 综合与实践

   

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．
①______度；
②若，求线段的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．

3 . 已知，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且．
   
(1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．

过点D作，交于点M．

(3)【拓展延伸】已知点D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上一动点，且，若，请直接写出的长．

4 . 教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．

做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角形有多少种？

(1)【操作发现】

如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）

   

(2)【探究证明】

已知：如图2，在和中，，，．

   

求证：．

证明：在上取一点，使．请补全完整证明过程：

(3)【拓展应用】

在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接，与边所在的直线交于点．过点作交直线于点，若，，则_________．（直接写出答案）

5 . （1）问题背景
如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是         （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．
结论：        （用含n的代数式表示）．

6 . 综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动：
   
【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”．
(2)【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题：
已知：如图2，在和中，，，．求证：．
请阅读并补全证明
证明：在上取一点，使．
，
　　．
又．
而．
　　．
，
　　．
又　　．
．
．
(3)【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题：
当点在线段上时，如图所示，求证：．
过点作交直线于点，若，，则______．

8 . 发现问题：如图1所示，已知直角梯形中，A是上一点，，，，且，，试说明直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系：
初步探究：（1）试说明：；
问题解决：（2）请用两种含有a，b，c的代数式的方法表示直角梯形的面积：
______．
______．
由此，你能得到的a、b、c的数量关系是：____________．
【拓展应用】（3）如图2，等腰三角形中，D是底边上的中点，，，E、F分别是线段和上的两个动点，求：的最小值．

图1                                                               图2

9 . （1）教材呈现：
人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为       ；

（2）类比探究：
如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．求证：；
（3）拓展应用：
如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为       ．

10 . 【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．
   
(1)【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴__________．（平行线分线段成比例）
∵，
∴．
∴．
即是的边上的中线，
又
∴__________．（等腰三角形的“三线合一”）
∴垂直平分．
请将上述证明过程补充完整；
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方表，发现点在线段的垂直平份线上，请你给出证明；
(3)【拓展应用】
如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，分别以点，圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接．若，请直接写出的值．