1 . 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)证明：∵为等边三角形，
∴，______①
在和中，
，
∴，
∴______③，
又∵
∴______④，
∴．

2 . 在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形中，E为上任意一点，连接，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：

   

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形是正方形
∴ ① ，
∴
∴ ②
∵
∴，
∴ ③
在和中

∴（ ⑥ ）
∴

3 . 在学习正方形的过程中，小军发现一个规律：在正方形ABCD中，E为AD边上任意一点，连接BE，若过点A的直线，交CD于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小军的思路是：先利用下图，过点A作出BE的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小军的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线AG，交BE于点F，交CD于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ① ，，
∴．
∵ ②
∴，
∴，
∴ ③ ，
在和中

∴．
∴．

4 . 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（       ）

A．不变

B．一直变小

C．先变大后变小

D．先变小后变大

5 . 【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

【材料理解】
(1)如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若，，，则，请证明小高的发现．
【深入探究】
(2)如图2，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
【延伸应用】
(3)①如图3，在四边形中，，，，与的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）；
②如图4，在四边形中，，若，，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）．

6 . 综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为（），设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为___________；
探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线交于点P，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
（4）连接，在旋转过程中是否存在角，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出的度数；如果不存在，请说明理由．
             

8 . 在中，，，直线经过点A，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、.

(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线从图①状态开始绕点A旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探究线段、和的数量关系并说明理由.

9 . 在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：

(1)【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，．则______．
(2)【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若．则的长为______（按图示辅助线求解）；
(3)在图3中，是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；
(4)【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若．求出的周长，并说明理由？

10 . 在中，，点D是边上一点，过点D作于点E，点F是边的延长线上一点，且，连接，设两点间的距离为两点间的距离为两点间的距离为．
根据学习函数的经验，我们对因变量随自变量x的变化而变化的规律来进行探究．
(1)列表：下表的已知数据是根据两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的几组对应值：

	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
	4	4.01	4.02	4.03	4.05	4.10	4.16	4.24	4.33	4.45	4.61	4.78	a
	3	3.07	3.17	3.27	3.37	3.54	3.70	3.88	4.08	4.29	4.55	4.82	5.11

请你通过计算补全表格：______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于x的图象、函数关于x的图象；

(3)探究性质：请写出一条关于x的函数的性质：_________；
(4)解决问题：当是等腰三角形时，x大约是______（结果保留一位小数）．