1 . 问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=10，AD=24，点E是AD的中点，点F在边AB上，且BF＝3，则四边形BCEF的面积是 ；
（2）对于
，当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
问题解决
（3）某社区为优化居民生活环境，现规划建一个四边形活动场地ABCD，如图②．按设计要求，四边形EFCD内部为室内活动区，其余为户外活动区，且满足AB＝AD＝100m，BC=160m，∠ADC=∠C=90o，E，F分别在边AB、BC上，EF＝BE．为满足场所需要，想让室内活动区尽可能大．请问：是否存在符合设计要求的面积最大的四边形EFCD？若存在，求四边形EFCD面积的最大值及此时BF的长；若不存在，请说明理由．
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=10，AD=24，点E是AD的中点，点F在边AB上，且BF＝3，则四边形BCEF的面积是 ；
（2）对于
，当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？问题解决
（3）某社区为优化居民生活环境，现规划建一个四边形活动场地ABCD，如图②．按设计要求，四边形EFCD内部为室内活动区，其余为户外活动区，且满足AB＝AD＝100m，BC=160m，∠ADC=∠C=90o，E，F分别在边AB、BC上，EF＝BE．为满足场所需要，想让室内活动区尽可能大．请问：是否存在符合设计要求的面积最大的四边形EFCD？若存在，求四边形EFCD面积的最大值及此时BF的长；若不存在，请说明理由．
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2 . 小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
从特殊验证
已知四边形
的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S ，何时最大?
小敏的演算纸
解：分别考虑
为直角、钝角或锐角的情形．
I为直角 Ⅱ 为钝角 Ⅲ 为锐角
易得
…
易证当
为钝角时，
也为钝角． 同理可得Ⅱ中结论设两条垂线段
，
．
综上所述，S的最大值为……．
（1）探索情形Ⅰ：
①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
② S 的值为 ．
（2）探索情形Ⅱ ：说明此时S 的值小于情形Ⅰ 中S 的值．
向一般进发
（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S 的最大值．
从特殊验证
已知四边形
的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S ，何时最大?小敏的演算纸
解：分别考虑
为直角、钝角或锐角的情形．I
为直角 Ⅱ 为钝角 Ⅲ 为锐角 易得
…易证当
为钝角时，也为钝角． 同理可得Ⅱ中结论设两条垂线段，． 综上所述，S的最大值为……．
（1）探索情形Ⅰ：
①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
② S 的值为 ．
（2）探索情形Ⅱ ：说明此时S 的值小于情形Ⅰ 中S 的值．
向一般进发
（3）已知四边形
的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S 的最大值．
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名校
3 . 在矩形中，
，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（
），得到矩形
，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.
边上时，线段
的长度为__________.
(2)如图②，连接
，当点E落在线段上时，
与相交于点H，连接
，
①求证：
.
②求线段
的长度.
(3)如图3，设点P为边
的中点，连结
，在矩形旋转的过程中，
面积的最大值为_____
中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为α（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.
边上时，线段的长度为__________.(2)如图②，连接
，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接，①求证：
.②求线段
的长度.(3)如图3，设点P为边
的中点，连结，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_____
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2024-03-04更新
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199次组卷
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9卷引用：江苏省泰州市泰兴市实验初级中学教育集团(联盟)2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
江苏省泰州市泰兴市实验初级中学教育集团(联盟)2019-2020学年九年级上学期期末数学试题吉林省长春市二道区长春市第一〇八学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题广东省汕头市龙湖区汕头经济特区林百欣中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题2024年广东省汕头市澄海实验学校中考模拟数学试题【校级联考】江苏省江阴市澄要片2018-2019学年八年级下学期期中考试数学试题江苏省宜兴市新街中学2021-2022学年八年级下学期第一次阶段性自测数学试题（已下线）江苏省泰州市姜堰区实验初级中学2022-2023学年八年级下学期数学第一次学情调查3.2山东省济南市莱芜区莱芜区方下鲁西学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题江苏省 连云港市赣榆区连云港市和安中学2023-2024学年八年级数学下学期第一次月考试题
4 . 如图，点E为正方形的边
上一点，以点A为圆心，长为半径画弧
，交边
于点F，已知正方形边长为1．
（1）若
，则DE的长为________ ；
（2）△AEF的面积为S的最大值是________ ．
的边上一点，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，已知正方形边长为1．（1）若
，则DE的长为（2）△AEF的面积为S的最大值是
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2023-04-29更新
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93次组卷
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3卷引用：2023年安徽省蚌埠市G5学校联盟中考二模数学试卷
2023年安徽省蚌埠市G5学校联盟中考二模数学试卷2023年安徽省定远中学中考模拟数学试题（5月）（已下线）专题09 多结论、多空类问题（针对第10、14题）（真题6题模拟60题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（安徽专用）
5 . 问题探究
中，点
是上一点，且
，若
的面积为
，则
的面积为______；（用含的式子表示）
（2）如图②，在四边形中，连接
，
，
，点
之间的距离为
，求四边形面积的最大值；
问题解决
（3）为建设美丽西安，某地规划了如图③所示的四边形观光区，其中，
，
，
，点
是的中点，点
是
上一点，
，
与是两条装饰灯带且夹角为
（即
），为容纳更多的观光者，要求四边形的面积最大，请问四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由．
中，点是上一点，且，若的面积为，则的面积为______；（用含的式子表示）（2）如图②，在四边形
中，连接，，，点之间的距离为，求四边形面积的最大值；问题解决
（3）为建设美丽西安，某地规划了如图③所示的四边形
观光区，其中，，，，点是的中点，点是上一点，，与是两条装饰灯带且夹角为（即），为容纳更多的观光者，要求四边形的面积最大，请问四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由．
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2022九年级·江苏·专题练习
6 . 如图，边长为6的正方形中，E为
中点，P为上一点（不与B、C重合），将
沿直线
翻折，点B落在
处，直线
交射线于点Q，连接
，设
．
(1)求证：
；
(2)设
的值为y，用含a的代数式表示y并求出y的最大值；
(3)若F为中点，设过点F且垂直于的直线被直角三角形
截得的线段长为d，请直接写出d与a的关系式．
中，E为中点，P为上一点（不与B、C重合），将沿直线翻折，点B落在 处，直线交射线于点Q，连接，设．(1)求证：
；(2)设
的值为y，用含a的代数式表示y并求出y的最大值；(3)若F为
中点，设过点F且垂直于的直线被直角三角形截得的线段长为d，请直接写出d与a的关系式．
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名校
7 . 定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．
（1）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD平分∠ADC，四边形ABCD （填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若∠ABC=90°，且
，则⊙O的直径为 ．
（2）已知，四边形ABCD是“完美四边形”∠ADC=90°，
，
，当四边形ABCD的面积为4时，求对角线BD的长；
（3）如图2，在“完美四边形”ABCD中，AB=AD，AC=8，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点P，设
，
，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．
（1）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD平分∠ADC，四边形ABCD （填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若∠ABC=90°，且
，则⊙O的直径为 ．（2）已知，四边形ABCD是“完美四边形”∠ADC=90°，
，，当四边形ABCD的面积为4时，求对角线BD的长；（3）如图2，在“完美四边形”ABCD中，AB=AD，AC=8，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点P，设
，，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．
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8 . 如图，在四边形中，
，
，平分
，E是上一点，
，F为直线上的动点，连接、
．若
，则
的最小值为______ ．
中，，，平分，E是上一点，，F为直线上的动点，连接、．若，则的最小值为
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9 . 如图，在边长2为的正方形中，
是边上一动点（不含B，C两点），将
沿直线
翻折，点
落在点处，在上有一点
，使得将
沿直线
翻折后，点
落在直线上的点处，直线交于点
，连接
，
．
(1)求证：
．
(2)求
的周长．
(3)求线段
长度的最小值．
中，是边上一动点（不含B，C两点），将沿直线翻折，点落在点处，在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，．(1)求证：
．(2)求
的周长．(3)求线段
长度的最小值．
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10 . 如图1，已知
，
，
，
，O是的中点．将绕点A旋转得到
，点B，C的对应点分别是D，E，连接
．
(1)如图2，当
的延长线经过点C时，
①求证：
；
②求
的面积；
(2)在的旋转过程中，求面积的最小值．
，，，，O是的中点．将绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是D，E，连接． (1)如图2，当
的延长线经过点C时，①求证：
；②求
的面积；(2)在
的旋转过程中，求面积的最小值．
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