1 . 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点P．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在锐角中，，且，求证：．

   

证明：∵，，
①      ．
在与中，，
，
∴      ③      ，
∴，即是等腰三角形．
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④      ．

2 . 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上的点，过点作交于点，点关于的对称点为点，连接、，分别交于点，若，则四边形的面积为____________．
   

3 . 【问题提出】如图①，已知线段，点P是内一定点，请过点P作的弦AB，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【问题联想】（1）在数学活动小组讨论过程中，小明联想到教科书上的例题：
如图②，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点P．与相等吗？为什么？
【问题解决】（2）你能解决【问题提出】中的问题吗？

   

5 . 问题探究

（1）如图①，在中，点是上一点，且，若的面积为，则的面积为______；（用含的式子表示）
（2）如图②，在四边形中，连接，，，点之间的距离为，求四边形面积的最大值；
问题解决
（3）为建设美丽西安，某地规划了如图③所示的四边形观光区，其中，，，，点是的中点，点是上一点，，与是两条装饰灯带且夹角为（即），为容纳更多的观光者，要求四边形的面积最大，请问四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由．

7 . 如图1，四边形中，，，平分．

(1)求证：．
(2)如图2，平分交于点．
①若，，求的长；
②如图3，若是的中点，连结，，若，求的长．

8 . 如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点．

(1)的度数为       度，写出图中一对全等的三角形：          ；
(2)求证：；
(3)若，试求的度数．