1 . 如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
   
(1)在图1中求作边的中点；
(2)在图2中的边上求作点，使．

2 . 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)如图1，过点A求作此正五边形的对称轴；
(2)如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使．

3 . 如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形．
(1)写出图1中互相平行的线段：          、          、          ；

(2)如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由；

(3)如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值．

4 . 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．

(1)问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
(3)学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？

7 . 在中，，点D是上一点，，点E是上一点，．
   
(1)如图1，求证：是等腰三角形．
(2)如图2，过点E作于点F，求证：平分．
(3)如图3，延长交于点G，求证：点C在的垂直平分线上．

8 . 如图，在中，已知，于点D．

(1)如图①，点P为上任意一点，请你用无刻度的直尺在上找出一点，使．
(2)如图②，点P为上任意一点，请你用无刻度的直尺在上找出一点，使．

9 . 如图，是的角平分线，、分别是和的高．
(1)求证：垂直平分．
(2)若，，，求的长．
   

10 . 如图，在中，，．

(1)如图1，平分交于点，为上一点，连接交于点．
①若，求证：垂直平分；
②若，求证：．
(2)如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上．试判断线段和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点．写出线段和的数量关系不要求写出过程)．