1 . 如图，在矩形
中，对角线
、
交于点
，
的平分线
分别交、
于点
、
，交
的延长线于点
，
为
的中点，连结
、
，分别交、于点
、
．
；
(2)探究与
的关系，并说明理由；
(3)若
，
，求
的长．
中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、．
；(2)探究
与的关系，并说明理由；(3)若
，，求的长．
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2 . 已知抛物线
与轴交于点
和点
两点
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上不与点A，B，C重合的一个动点，过点M作
轴，连接
．
①如图1，若点M在第一象限，且
，求点M的坐标；
②直线
交直线于点D，当点D关于直线的对称点
落在y轴上时，求四边形
的周长．
与轴交于点和点两点 (1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上不与点A，B，C重合的一个动点，过点M作
轴，连接．①如图1，若点M在第一象限，且
，求点M的坐标；②直线
交直线于点D，当点D关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长．
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真题
3 . 如图，正方形的边长为
，点是
的中点，
与交于点，是
上一点，连接
分别交，
于点，，且
，连接
，则
________ ，
________ ．
的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则
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4 . 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点
在y轴上，点C在第一象限内，连接，
，过点C作
轴于点B，连接OC，若
．
(1)求点B的坐标；
(2)点P从点A以每秒1个单位的长度沿射线AO方向运动，设点P运动的时间为t，P、O、B、C四点组成的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点D为
中点，连接并延长交y轴于点E，点Q为平面内一点，若点P、E、C、Q四点组成的四边形为菱形，求点Q的坐标．
在y轴上，点C在第一象限内，连接，，过点C作轴于点B，连接OC，若． (1)求点B的坐标；
(2)点P从点A以每秒1个单位的长度沿射线AO方向运动，设点P运动的时间为t，P、O、B、C四点组成的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点D为
中点，连接并延长交y轴于点E，点Q为平面内一点，若点P、E、C、Q四点组成的四边形为菱形，求点Q的坐标．
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5 . 如图，
在平面直角坐标系中，点
在
的负半轴上，点
在的正半轴上，点
在
的正半轴上，
，
，
，动点
从点出发，以
个单位长度
的速度沿边向终点匀速运动，以
为一边作
，边
与相交于点，以为边作等边
，点在线段
上，设点的运动时间为
．在边上，直接写出的长为______ 
用含
的代数式表示
；
(2)当点与点重合时，
求的值；
直接写出此时点和点的坐标；
点在轴上，点
在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
在平面直角坐标系中，点在的负半轴上，点在的正半轴上，点在的正半轴上，，，，动点从点出发，以个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，边与相交于点，以为边作等边，点在线段上，设点的运动时间为．
在边上，直接写出的长为______ 用含的代数式表示；(2)当点
与点重合时，求的值；直接写出此时点和点的坐标；点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
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2023-08-14更新
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207次组卷
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2卷引用：内蒙古鄂尔多斯多校联考2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题
6 . 如图1，已知
，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合），连接
，将线段绕点C顺时针旋转
得到线段
，连接
并延长交直线于点E．
______
；
(2)如图2，若
是锐角，其它条件不变，猜想
的度数，并加以证明；
(3)如图3，若
，
，且，求的长．
，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点E．
______；(2)如图2，若
是锐角，其它条件不变，猜想的度数，并加以证明；(3)如图3，若
，，且，求的长．
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2023-07-27更新
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100次组卷
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3卷引用：内蒙古自治区包头市青山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
名校
7 . 如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，B点坐标为
．与y轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线
与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求
的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当
是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线
与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当
是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
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解题方法
8 . 如图，在正方形中，M、N分别是射线
和射线
上的动点，且始终
．、上时，请直接写出线段
、、
之间的数量关系；
(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若
，设与
的延长线交于点P，交
于Q，直接写出
、
的长．
中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．
、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在
、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在
、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．
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2023-05-28更新
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358次组卷
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19卷引用：2023年内蒙古包头市6月九年级中考数学模拟预测题
2023年内蒙古包头市6月九年级中考数学模拟预测题2019年山东省泰安市中考数学模拟试题辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题2020年山东省济南市章丘区中考数学一模试题2020年河南省新乡市中考数学评价测试题（已下线）专题20 半角模型2020年吉林省吉林市中考数学4月模拟试题2020年河南省南阳市中考数学模拟试题山东泰安肥城市2020-2021学年九年级下学期期中教学质量监测数学试题(一模)辽宁省朝阳市北票市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题2023年山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学九年级中考数学第一次模拟考试试题（已下线）专题16 几何综合压轴-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（山东专用）2023年山东省菏泽市单县中考二模数学试题2023年广东省茂名市茂南区文悦学校中考一模数学试题辽宁省盘锦市兴隆台区第一完全中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（已下线）2023年佛山等市一模（几何综合2）（已下线）2023年四川省南充市中考数学真题变式题22-25题2024年辽宁省沈阳市中考一模考前数学模拟预测题(三)2023年江苏省苏州市中考数学考前模拟预测题（四）
9 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板
沿
方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是 ；
②图2中
与
的数量关系是 ；四边形
的形状是 ．
(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含
角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为
，过程如下：
将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当
为等腰三角形时，请直接写出的长；
②直接写出
的最小值．
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板
沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：
①图1中四边形
的形状是 ；②图2中
与的数量关系是 ；四边形的形状是 ．(2)迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含
角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板
按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．(3)拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当
为等腰三角形时，请直接写出的长；②直接写出
的最小值．
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2023-04-23更新
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315次组卷
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6卷引用：内蒙古自治区赤峰市红山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
10 . 如图1，在
中，
，
，
，点
分别是边
的中点，连接．将
绕点逆时针方向旋转，记旋转角为
．
当
时，
______；当
时，______．
(2)拓展探究
试判断：当
时，
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至
三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．
中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
当时，______；当时，______．(2)拓展探究
试判断：当
时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．
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2023-02-11更新
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878次组卷
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29卷引用：2020年内蒙古省包头市中考数学4月模拟试题
2020年内蒙古省包头市中考数学4月模拟试题2024年内蒙古包头市中考数学模拟试题2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试题2020年河南省郑州市市直学校中考数学一模试题2020年山东省德州市乐陵县九年级数学中考三模试题（已下线）【万唯原创】河南省中考数学-河南缺题-类比探究中（已下线）手拉手模型河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期中数学试题山东省菏泽市单县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题（二模）（已下线）第二十三章 图形的变换（能力提升）-2021-2022学年京改版九年级数学下册单元测试卷（已下线）专题27.17+相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）山东省济南市平阴县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题山东省济南市济南中学2021-2022学年 九年级上学期数学期中考试卷（已下线）专题19 以三角形为载体的几何综合探究问题河南省郑州市中原区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题山东省济南市天桥区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题河南省郑州市第二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学测试卷河南省郑州市二七区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题贵州省贵阳市贵安区高峰中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题陕西省宝鸡市凤翔区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷2023年山东省东营市东营区实验中学（五四制）九年级中考一模数学试题（已下线）2023年陕西省延安市中考数学第一次模拟考试卷变式题21-26题（已下线）专题16 几何综合压轴-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（山东专用）河南省驻马店市平舆县完全中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题山东省东营市广饶县李鹊镇初级中学2022-2023学年八年级下学期第二次阶段限时作业数学试题湖北省武汉市培英中学2021-2022学年九年级下学期月考数学试题河北省石家庄市第八十一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题4.46 相似三角形几何模型（旋转模型）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）山东省济南市商河县四校2023-22024学年九年级上学期期中考试数学试题
