1 . 如图，在四边形中，，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为______．

2 . 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．

4 . 如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______．

5 . 已知抛物线，其中n，m为常数，且．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线的对称轴为，且抛物线经过点．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；
(3)若，点，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标．

6 . 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．
   

7 . 对于平面直角坐标系中的点P和（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且，则称点P为的称心点．

       

(1)当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点中，的称心点是　 　；
②如图2，点D在直线上，若点D是的称心点，求点的横坐标m的取值范围；
(2)的圆心为，半径为2，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上的所有点都是的称心点，直接写出t的取值范围．

8 . 问题背景：如图1，在等边中，作于点，则为的中点，，设，则，，由勾股定理可知   若将和重新组合为如图的，此时，，，我们可以得到请运用此结论完成以下任务
迁移应用：如图，，，，、、三点在同一条直线上，连接
   
(1)求证：
(2)请直接写出线段、、之间的数量关系．
(3)如图4，与都是等边三角形，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接、 若，，求的长．

9 . 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．