1 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

2 . 【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补．”如图①，小明给出了如下证明方法：
证明：连结、．
所对的弧为，所对的弧为．
又和所对的圆心角的和是周角．
．
同理．
这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补．
【应用】如图②，四边形内接于，为延长线上一点，若，则    1    ．
【探究】如图③，四边形为的内接四边形，为的直径．，延长、相交于点
（1）求证：；
（2）若，，则四边形的面积为    2    ．

3 . 【感知】如图①，在正方形内部作等边三角形，连结、，则的大小为________度．
【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，点D是内的一点，且，，求证：．
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，连结．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵，，∴四边形是正方形．
∵，∴．
∵四边形是正方形，∴，
∴，即．
∵，，∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【拓展】如图③，在中，，，，于点E，交于点F，则的长为________．

6 . 【感知】如图①，若，易证（不用证明）；
【探究】如图②，正方形和正方形的边在同一条直线上，点在上，相交于点，求证：；
【应用】如图③，在“探究”的条件下，连接，若，则_______．

7 . 感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.

8 . 【教材呈现】如图是华师八年级下册数学教材第75页的部分内容．

如图在方格纸上画出两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另外一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线的长度．     你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明． 经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等，由此我们得到平行线的又一性质：平行线间的距离处处相等． 两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另外一条直线的距离，叫做两条平行线的距离．

   
请根据教材提示，写出证明“平行线之间的距离处处相等”的完整过程
已知：如图①，直线，、是直线上的两点，于点，于点，求证：
【结论应用】在四边形中，，对角线、交于点．
（1）如图②，过点作交于点，连结、．则与之间的数量关系是________．
（2）如图③，若，，，则的面积为________．