1 . 几何探究与实践

(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是：            ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．

2 . 综合与实践
【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转．
【解决问题】
（1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明；

（2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______；
（3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现；
【拓展探究】
（4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分．

5 . 感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______.

7 . 已知：在中，于点．

(1)如图1，若于点，．求证：是菱形．
(2)如图2，连、交于点，试探究：，，，之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若，于点交于点，连接，其中，且以、、为边构成的三角形的面积为20．求的面积．

8 . 如图1，在正方形中，，点E，F分别在上，于点M，于点N，且．

(1)求证：；
(2)求的长；
(3)在直线右侧以线段为边作等腰直角三角形，，连接，如图2，试判断与的有什么关系？并证明你的结论．

9 . 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）：

(1)当点在线段上时，如图②；
①连接，求证：；
②求证：；
(2)当点在线段上时，如图③，求证：．