1 . 【问题情境】
（
）如图，四边形
是正方形，点
是对角线
上一动点，求证：
；请你完成证明．
【深入探究】
（
）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作
，
，垂足分别为
、
，连接
．
①试猜想与
的数量关系，并证明你的猜想．
②若
，则最小值为________．
【拓展应用】
（
）如图，延长
、
交于点
，
与
交于点
，
为
的中点，连接
，则
的形状为________．
（
）如图，四边形是正方形，点是对角线上一动点，求证：；请你完成证明．【深入探究】
（
）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接．①试猜想
与的数量关系，并证明你的猜想．②若
，则最小值为________．【拓展应用】
（
）如图，延长、交于点，与交于点，为的中点，连接，则的形状为________．
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2 . 【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
中，若
，求
边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长到点，使
，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到
的理由是______．
A．
B．
C．
D．
（2）求得的取值范围是______．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，
交于，交于，且
．求证：
．
【拓展延伸】
（4）如图3，在中，点
是的中点，
于点
交
于点
交于点，连接，判断
与的大小关系并证明．
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到
的理由是______．A．
B． C． D．（2）求得
的取值范围是______．【问题解决】
（3）如图2，
是的中线，交于，交于，且．求证：．【拓展延伸】
（4）如图3，在
中，点是的中点，于点交于点交于点，连接，判断与的大小关系并证明．
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名校
3 . 如图，在中，
，将绕着C点顺时针旋转α角度（这里
）得到
，连接
，延长交于F．上时，求证：
；
(2)在旋转过程中，线段
与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论；
(3)如图3，当
时，若
，求线段的长度．
中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F．
上时，求证：；(2)在旋转过程中，线段
与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论；(3)如图3，当
时，若，求线段的长度．
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4 . 如图，已知
， 在
的平分线
上有一点 C(不与点O重合)．将一个 
角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线
，OB相交于点 D，E．
【初步把握】（1）如图1， 当
绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 
【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段
，
与
之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由．
， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E．【初步把握】（1）如图1， 当
绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到
与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到
与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由．
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5 . （1）如图1，在
中，
，平分
，
，
，垂足分别为E，F，求证：四边形
是正方形；
（2）如图2，在中，
，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接
，
，．
①判断四边形
的形状，并证明；
②已知
，求
的长．
中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形；（2）如图2，在
中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接，，．①判断四边形
的形状，并证明；②已知
，求的长．
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6 . 【问题情境】
折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．
【动手操作】
步骤1：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，展平纸片；
步骤2：点M为边上任意一点（与点A，D不重合），
沿
折叠得到
，折痕交于点N．
【问题探究】
（1）如图1，当点A的对称点
落在上时，连接
．
为菱形；
（2）已知
，继续对折矩形纸片，使与
重合，折痕
与交于点O．将沿折叠，连接
，若点A的对称点恰好落在线段上，此时
．
①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A的对称点（保留作图痕迹，不写作法）；的长度；
【拓展迁移】
如图3，在矩形纸片的边上取一点P，折叠纸片，使P，B两点重合，展平纸片，得到折痕；点
为EF上任意一点（与点E，F不重合），折叠纸片使B，两点重合，得到折痕l及点P的对应点
，折痕l交EF于点K，展平纸片，连接
， 
．
与
的数量关系，并证明．
折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．
【动手操作】
步骤1：对折矩形纸片
，使与重合，得到折痕，展平纸片；步骤2：点M为边
上任意一点（与点A，D不重合），沿折叠得到，折痕交于点N．【问题探究】
（1）如图1，当点A的对称点
落在上时，连接．
为菱形；（2）已知
，继续对折矩形纸片，使与重合，折痕与交于点O．将沿折叠，连接，若点A的对称点恰好落在线段上，此时．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A的对称点
（保留作图痕迹，不写作法）；
的长度；【拓展迁移】
如图3，在矩形纸片
的边上取一点P，折叠纸片，使P，B两点重合，展平纸片，得到折痕；点为EF上任意一点（与点E，F不重合），折叠纸片使B，两点重合，得到折痕l及点P的对应点，折痕l交EF于点K，展平纸片，连接， ．
与的数量关系，并证明．
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7 . 如图①，已知点在正方形的对角线上，
，垂足为点，
，垂足为点．
①求证：四边形
是正方形；
②推断：
的值为 ；
(2)【探究与证明】：将正方形绕点
顺时针方向旋转
度
，如图②所示，试探究线段
与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当
，，三点在同一直线上时，如图③所示，延长
交于点．若
，
，求的长．
在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
①求证：四边形
是正方形；②推断：
的值为 ；(2)【探究与证明】：将正方形
绕点顺时针方向旋转度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展与运用】：正方形
在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点．若，，求的长．
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名校
8 . （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，平分
，
．求证：
；
豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取
，连接
，将线段，，
之间的数量关系转化为
与的数量关系；
点点同学从这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使
，连接，将转化为
与
之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图2，中，
，平面内有点（点和点在的同侧），连接，
，
，
，求证：
；
（3）【学以致用】如图3，在中，
，垂足为，
，
，
，平分交于点．求的长．
中，平分，．求证：；豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在
上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系；点点同学从
这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将转化为与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图2，
中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：；（3）【学以致用】如图3，在
中，，垂足为，，，，平分交于点．求的长．
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9 . 中考新考法 阅读理解题阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图①，在
中，
，
是斜边
上的中线．求证：
．
分析：要证明等于 的一半．可以用
倍长法
将 延长一倍，如图②，延长到点，使得
．连接
，
．可证四边形
是矩形，由矩形的对角线相等得
，将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A. 转化思想 B. 类比思想 C. 数形结合思想 D. 从一般到特殊思想
(3)如图③，点 是线段
上一点，
，点是线段
上一点，分别连接
，
，点，分别是和的中点，连接
．若 
，求的长．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图①，在
中，，是斜边上的中线．求证：．分析：要证明
等于 的一半．可以用倍长法将 延长一倍，如图②，延长到点，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A. 转化思想 B. 类比思想 C. 数形结合思想 D. 从一般到特殊思想
(3)如图③，点
是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，，点，分别是和的中点，连接．若 ，求的长．
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10 . 如图，已知正方形中，点E是
延长线上一点，连接
，过点C作
于点F，连接
．
；
(2)作点B关于直线的对称点M，连接，
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段
，，之间的数量关系，并证明．
③若F为中点，
，连接
，直接写出线段的长为_______．
中，点E是延长线上一点，连接，过点C作于点F，连接．
；(2)作点B关于直线
的对称点M，连接，①依据题意补全图形；
②用等式表示线段
，，之间的数量关系，并证明．③若F为
中点，，连接，直接写出线段的长为_______．
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