1 . 已知抛物线
：
的图像与x轴交于点
，与y轴交于点
，点
为y轴上一点．的解析式；
(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且
，
与x轴交于点D，求点E的横坐标；
(3)点P是上的一个动点，连接
，取的中点
，设点构成的曲线是
，直线
与，的交点从左至右依次为
，
，
，
，则
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点．
的解析式；(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且
，与x轴交于点D，求点E的横坐标；(3)点P是
上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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2 . 如图，四边形
是菱形中，对角线
与
相交于O，
，
，求的长．
是菱形中，对角线与相交于O，，，求的长．
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3 . 如图 1， 抛物线 
与x轴交于点 A、
， 与y轴交于点
，点P是抛物线上一个动点，且在直线
的上方．
(2)当
的面积为8时，请求出点P的坐标；
(3)能否为直角三角形?若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由；
(4)如图2，点H的坐标是
， 点Q为x轴负半轴上一动点，点
在抛物线上，把
沿
翻折，使点 P刚好落在x轴上，请直接写出点 Q 的坐标．
与x轴交于点 A、， 与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(2)当
的面积为8时，请求出点P的坐标；(3)
能否为直角三角形?若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由；(4)如图2，点H的坐标是
， 点Q为x轴负半轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点 P刚好落在x轴上，请直接写出点 Q 的坐标．
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4 . 【问题背景】
，求证：
；
【尝试应用】
（2）如图2，在
和
中，
，
，与
相交于点F，点D在
边上，
，
，求
的值；
【拓展创新】
（3）如图3，D是内一点，
，
，
，
，请求出
的长．
，求证：；【尝试应用】
（2）如图2，在
和中，，，与相交于点F，点D在边上，，，求的值；【拓展创新】
（3）如图3，D是
内一点，，，，，请求出的长．
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5 . 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第
页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为
，
，
，记
，那么三角形的面积为
．
【解决问题】：已知如图1在中，
，
，
．的面积．
(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；
(3)求中
边上的高与
边上的高的积．
页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．【解决问题】：已知如图1在
中，，，．
的面积．(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求
的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；(3)求
中边上的高与边上的高的积．
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名校
6 . （1）[操作与思考]如图1，在
中，
，
，
，以为边在外作等边三角形
，连接
，请你以
为边在外作等边三角形
，再连接
，直接写出的长 ．中，
，，，以为斜边作直角三角形
，其中
，
，若
为
中点，连接
．求的长；和均为等边三角形，
，
，
为中点，连接
、
和，当
时，直接写出的长 ．
中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ．
中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；
和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ．
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7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是
、
．关于原点O成中心对称的
；
(2)画出绕点O逆时针旋转90度的
；
(3)在
轴上找到一点
，使
的值最小，则最小值为______．
的三个顶点分别是、．
关于原点O成中心对称的；(2)画出
绕点O逆时针旋转90度的；(3)在
轴上找到一点，使的值最小，则最小值为______．
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8 . 综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．，如图，
，
．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点
与点
重叠对折，得折痕
，展开后，她把点与点
重叠对折，得折痕
，再展开后连接，交折痕于点
，则点就是的重心．
，判断与
的数量关系并说明理由；
(2)猜想验证：莹莹通过测量发现
与
，与
有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
(3)尝试运用：利用（2）的结论计算
的面积；
(4)拓展探究：莹莹把
剪下后得
，发现可以与
拼成四边形，且拼的过程中点
不与点重合，直接写出拼成四边形时
的长．
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．
，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．
，判断与的数量关系并说明理由；(2)猜想验证：莹莹通过测量发现
与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；(3)尝试运用：利用（2）的结论计算
的面积；(4)拓展探究：莹莹把
剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．
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9 . 如图，已知是
的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的
经过点，与相交于点
．与的位置关系，为什么？
(2)若
，
．①求的半径的长；②求的长．
是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．
与的位置关系，为什么？(2)若
，．①求的半径的长；②求的长．
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10 . 随着数字转型世界
大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为
，无人机的飞行高度为
，并且无人机测得河岸边处的俯角为
，若小华的身高
，
（点，，，在同一平面内）．的正切值；
(2)求、两点之间的距离．
大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．
的正切值；(2)求
、两点之间的距离．
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