1 . 【问题探究】
如图，在中，点O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与，的外角的平分线交于点E、F，连接，．

（1）求证：；
（2）如图2，点O是的中点，判断与的数量关系，与的位置关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长．

2 . 如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点．

(1)【探究】求证：；
(2)【拓展】求线段的长；
(3)【延伸】求线段的长．

3 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，，将沿翻折得到，直线交于点，直接写出的长为         ．

4 . 综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题，如图，中，，，，将从图的位置开始绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），旋转角为
操作思考：

（1）“实验”小组画出了点恰好落在边上时的图形．连接，如图．试判断的形状，并说明理由：

（2）“求知”小组经过探究发现所在的直线与所在的直线始终垂直，在图中，作直线，于点，请补全图形并证明上述结论；
拓展探究：

（3）“博学”小组继续思考：在整个旋转过程中，若在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为                 

5 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

6 . （1）发现问题：

如图（1），在正方形中，若点，分别是边，边上的动点（均不与端点重合），且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，发现，请你给出证明过程；
（2）类比探究：
如图（2），在正方形中，若点，分别是边，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
（3）拓展应用：
在（1）中，若正方形的边长为6，，求的长．

7 . 综合与实践
正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接；
[初步探究]
（1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________；，，三者的数量关系为．
[探索发现]
（2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．
[拓展延伸]
（3）如图③，连接AE，若，，则的长为________．

8 . （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．推断：的值为        ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用在（2）的条件下，连接，当时，若， ，求的长．

   

9 . 综合与实践
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，在数学课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：

   

(1)操作猜想：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点A到x轴的距离是__________，点B到x轴的距离是__________．
(2)类比探究：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D，求点D的坐标．
(3)拓展探究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点分别在y轴、x轴上，且．若点C的坐标为，点A的坐标为，点P是x轴上的动点，当的面积等于6时，请直接写出线段的长．

10 . （1）【发现】如图1所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：；
（2）【探究】如图2，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，若，求的长；
（3）【拓展】如图3，在菱形中，，，E为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交直线于点P，直接写出的长为____________．