1 . 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过正方形对角线的交点，则这条直线平分该正方形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小明将该图形沿着过点P的某条直线剪了一刀后，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是______ ．
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2 . 某数学学习小组在学习《勾股定理》之后进行了拓展研究，类比勾股定理，新定义一种三角形，规定：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么称这个三角形为“奇异勾股三角形”．请根据“奇异勾股三角形”的定义，完成下列问题：
(1)判断：下列说法正确的是_______________（填甲、乙、丙）
组员甲说：等边三角形一定是“奇异勾股三角形”；
组员乙说：等腰直角三角形也是“奇异勾股三角形”；
组员丙说：三边长分别为
，2，
的三角形也是“奇异勾股三角形”．
(2)若
是“奇异勾股三角形”，且两边长分别为1，
，求第三边的长；
(3)若
是“奇异勾股三角形”，三边长分别为a，b，c（a，b为直角边，c为斜边，且
），求的周长（用只含有a的式子表示）．
(1)判断：下列说法正确的是_______________（填甲、乙、丙）
组员甲说：等边三角形一定是“奇异勾股三角形”；
组员乙说：等腰直角三角形也是“奇异勾股三角形”；
组员丙说：三边长分别为
，2，的三角形也是“奇异勾股三角形”．(2)若
是“奇异勾股三角形”，且两边长分别为1，，求第三边的长；(3)若
是“奇异勾股三角形”，三边长分别为a，b，c（a，b为直角边，c为斜边，且），求的周长（用只含有a的式子表示）．
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2022-12-06更新
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241次组卷
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5卷引用：福建省三明市尤溪县2022-2023学年八年级上学期数学期中综合性练习
福建省三明市尤溪县2022-2023学年八年级上学期数学期中综合性练习（已下线）专题17.2 勾股定理（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题18.2 勾股定理（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）湖南省湘潭市湘潭县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题湖南省永州李达中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
3 . 在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连接，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案．若正方形的边长为
，则阴影部分面积之和为（ ）
，则阴影部分面积之和为（ ）A． | B．2 | C． | D． |
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名校
4 . 【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝
，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．
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2022-02-18更新
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925次组卷
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8卷引用：广东省深圳市宝安区宝安中学（集团）2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
广东省深圳市宝安区宝安中学（集团）2021-2022学年八年级上学期期末数学试题广东省深圳市宝安区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题11 勾股定理与构造图形解决问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）（已下线）专题3.13 图形的平移与旋转（最值问题）（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）广东省深圳市宝安区西乡实验学校2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题广东省深圳市深圳高级中学初中部2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题2024年吉林省长春市农安县初中毕业学业考试网上阅卷模拟练习数学模拟试题（一模）辽宁省铁岭市开原市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
5 . 如图，矩形
中，点
在
边上，
，点
在
上，
于点
．
；
(2)若
，探究线段
，
，
的数量关系；
(3)在（2）的条件下，
，
，求的长．
中，点在边上，，点在上，于点．
；(2)若
，探究线段，，的数量关系；(3)在（2）的条件下，
，，求的长．
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6 . 【综合实践】
长
斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离
，
．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面
的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到
位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到
位置上，若
，求
的长度．
【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面
的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的
，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？
长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面
的长度．【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到
位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面
的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？
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7 . （1）计算：
_______________________________；
（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：
图2：________________________________；
图3：________________________________；
做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：
．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即．中，
，
是边上高，
，求的长度．
_______________________________；（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：
图2：________________________________；
图3：________________________________；
做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：
．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即．
中，，是边上高，，求的长度．
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8 . 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为
时，顶部边缘B处离桌面的高度为
，此时底部边缘A处与C处间的距离
为
，则电脑屏幕的宽
_______ 
．
时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，则电脑屏幕的宽．
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9 . 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
；
(2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求
的值
．
；(2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求
的值．
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10 . 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘
处离桌面的高度
为
，此时底部边缘
处与
处间的距离
为
，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为
时（
是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离
为
，则底部边缘处与之间的距离
为（ ）
时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ）A． | B． | C． | D． |
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