3 . 请阅读《三角板中的学问》，并完成以下问题：

三角板中的学问

直角三角板是我们学习中常用的作图工具，我们知道一副直角三角板中，一个三角板是等腰直角三角形，另一个直角三角板有一个锐角为，且角所对的直角边是斜边的一半．
数学小组的同学们在活动中进行了量一量、拼一拼的活动．

(1)填空：如图①，希望小组的同学们量出的直角三角板最短直角边为，则较长直角边约为      ．
(2)探究一：智慧小组把一副直角三角形按如图②所示方式叠放在一起，，与交于点F，求的度数并说明理由．
(3)探究二：创新小组把一副直角三角形按如图③所示方式叠放在一起，，求的度数并说明理由．

5 . 问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．
定理表述：
（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；

   

尝试证明：
（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．

   

定理应用：
（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

   

6 . 如图，为上一点，为的中点．

(1)求证：；
(2)若，探究与之间的数量关系．

9 . 如图1，在△ABC纸片中，∠ABC＝90°，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在AB边上且OP⊥AB，折痕为OM．
（1）若BC=8，BP=4，求OP的长；
（2）请在图2中探究思考，能否用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕？（不需要写出作法，但要保留作图痕迹）

10 . 【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．

(1)【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”）
①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；　 　
②一条顶针线段的顶针点有无数多对； 　 　
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；　 　
④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．　 　
(2)【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB＜AD．若在边AD上存在点F，边AB上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点．请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色墨水签字笔描黑．）
(3)【思维探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AD＝10．请利用备用图求AE的长度．