3 . 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图，怎样证明呢？把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得．
【感知】（1）如图2，在中，若，，则______．
【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图，即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】（3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______．

4 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．

数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．

5 . 【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．
   
(1)结合图①，完成解答过程．
(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长．
(3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长．

7 . ［学习探究］
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
如图1，两个直角边分别为，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．
解：有三个直角三角形其面积分别为，直角梯形的面积为．由图形可知：．整理得，．．
故结论为：如果用和分别表示直角三角形的两直角边长和斜边，那么．
［类比尝试］
（1）如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求：
①的面积；
②的长．
［拓展探究］
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为，求：
①点和点的坐标．
②点到轴的距离．

9 . 感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？     （填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，则 DE 的长为     ．

10 . 如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；
(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．