1 . 如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；
(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．

2 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
(1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

3 . 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．

   

(1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若，求线段的长．

4 . 【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．

(1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”）
(2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________；
(3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．

5 . 课本再现
（1）在中，，求的长；
拓展延伸
（2）在中，为锐角，，求的面积．

6 . 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理）

变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来：                   

拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长．

7 . 课本再现
如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点．

（1）分别求和的长．
拓展延伸
（2）如图2，若于点，连接．

①求证：直线垂直平分．
②求的长．

8 . 课本再现
如图．在中，是边上的高．．

(1)求的度数．
(2)拓展延伸：若，求的长．

9 . 阅读理解：

(1)【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到       ．
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：，
，
       ，（定角）
点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．
(2)【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为       ．
(3)【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长．