2 . 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
(1)根据·“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题，还是假命题？并说明理由．
(2)在中，两边长分别是这，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
(3)在中，，且，若是奇异三角形，求的值．

3 . 定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”，这条中线为“奇异中线”．
(1)判断：命题“如果直角三角形是奇异三角形，那么奇异中线一定是较长直角边上的中线”是真命题还是假命题．
(2)如图，在中，，，，求证：是“奇异三角形”．

(3)已知等腰是“奇异三角形”，，求底边的长．

4 . 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．

(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
(2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求．
(3)如图，是的直径，点是上一点（不与点重合），是半圆 的中点，在直径的两侧，若在内存在点，使．求证：是奇异三角形．

5 . 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们将奇异三角形定义为两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
【感知】
（1）根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空            （填“正确”或“不正确”）；
（2）若某三角形的三边长分别是，则该三角形是奇异三角形吗？            （填“是”或“不是”）．
【思考】
（1）若是奇异三角形，且其两边长分别为，则第三边的边长为            ；且此直角三角形的三边之比为            （请按从小到大排列）；
（2）如图，在中，，且，若是奇异三角形，求．

【运用】如图，中，以为斜边作等腰直角，点是下方的一点，且满足．
（1）求证：是奇异三角形；
（2）当是直角三角形时，记的面积为，四边形的面积为，则            ．

6 . 【综合与实践】
定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形．
【概念理解】
①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号)
【性质探究】
小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由；
【问题解决】
如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长．

   

7 . 已知：如图，在中，弦与相交于点，，给出下列信息：①；②是的直径；③．
   
(1)请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是        ，结论是                （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的情况下，若，求的直径．

8 . 1.【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形中，是一条对角线，，，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．
   
【概念理解】
（1）判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”）
①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧：______；
②一条顶针线段的顶针点有无数多对：______；
③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线：______；
【实践操作】
（2）如图2，在长方形中，．若在边上存在点F，边上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段互为顶针点．请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E（要求不写作法，保留作图痕迹．）
【思维探究】
（3）在（2）的条件下，若，．请利用备用图求的长度．

9 . 在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
(1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”）
(2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________；
(3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．

10 . 问题呈现：如图①，在一次数学活动课的折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小丽同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小丽认为是等腰三角形，你认为小丽的判断正确吗？______填“正确”或“错误”
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱中，，将▱沿对角线翻折得到，交于若点为的中点，则▱的面积为______．