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项目 背景	我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．
素材一	毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二	经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
素材三
解决问题
任务一	小明画出了锐角，，，则______．
任务二	小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程．
任务三	小山画出了钝角，，，则______．
项目总结
综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗．

3 . 综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）

探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程；
【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．

4 . 勾股定理的证明：
如图1，在中，．求证：．

   

小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程：
(1)看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可；

   

(2)如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形的面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的．

   

①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______；
②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（      ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题．

6 . 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．
（1）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为         ，第二次列式为           ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式                 ；
②在①中，如果，，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；
（2）如图3，两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系．