3 . [方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．
在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______；

[思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；
[拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，．
①求证：为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差．

4 . （1）【问题背景】如图（1），，，，连接．求证：；
（2）【问题探究】将图（1）中绕着点旋转，使点落在内部，如图（2），其余条件不变，请探究与的关系（数量关系和位置关系），并证明你的结论；
（3）【拓展应用】连接图（1）中如图（3），若，请直接写出四边形的面积．

6 . 数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【知识理解】
（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；

【知识运用】
（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．

（3）如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为 　 　．
【知识拓展】
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S₁＝6，S₂＝3，S₃＝5，则S₄＝　 　．

9 .

项目 背景	我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．
素材一	毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二	经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
素材三
解决问题
任务一	小明画出了锐角，，，则______．
任务二	小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程．
任务三	小山画出了钝角，，，则______．
项目总结
综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗．