1 . 勾股定理的证明:
如图1,在中,.求证:.
(1)看到要证明的结论,想到小学学习的正方形的面积计算方法是,受此启发,要证明,于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形,如图2,只需证明_____+____即可;
②要想建立正方形和长方形面积的关系,只能将其分别建立与和的面积关系,易得,_____,而( )(填推理依据),于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积,小丽通过体验勾股定理的探索过程,发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题.
如图1,在中,.求证:.
(1)看到要证明的结论,想到小学学习的正方形的面积计算方法是,受此启发,要证明,于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形,如图2,只需证明_____+____即可;
①首先过点C作边的垂线,垂足为点M,交于点N,就实现将正方形分成两个长方形的目的,只需证明, _______;
②要想建立正方形和长方形面积的关系,只能将其分别建立与和的面积关系,易得,_____,而( )(填推理依据),于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积,小丽通过体验勾股定理的探索过程,发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题.
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解题方法
2 . [方法储备]如图1,在中,为的中线,若,,求的取值范围.中线倍长法:如图2,延长至点,使得,连结,可证明,由全等得到,从而在中,根据三角形三边关系可以确定的范围,进一步即可求得的范围.
在上述过程中,证明的依据是______,的范围为______; [思考探究]如图3,在中,,为中点,、分别为、上的点,连结、、,,若,,求的长;
[拓展延伸]如图4,为线段上一点,,分别以、为斜边向上作等腰和等腰,为中点,连结,,.
①求证:为等腰直角三角形;
②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置(,,不在同一条直线上),连结,为中点,且,在同侧,连结,.若,,求和的面积之差.
在上述过程中,证明的依据是______,的范围为______; [思考探究]如图3,在中,,为中点,、分别为、上的点,连结、、,,若,,求的长;
[拓展延伸]如图4,为线段上一点,,分别以、为斜边向上作等腰和等腰,为中点,连结,,.
①求证:为等腰直角三角形;
②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置(,,不在同一条直线上),连结,为中点,且,在同侧,连结,.若,,求和的面积之差.
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3 . (1)【问题背景】如图(1),,,,连接.求证:;
(2)【问题探究】将图(1)中绕着点旋转,使点落在内部,如图(2),其余条件不变,请探究与的关系(数量关系和位置关系),并证明你的结论;
(3)【拓展应用】连接图(1)中如图(3),若,请直接写出四边形的面积.
(2)【问题探究】将图(1)中绕着点旋转,使点落在内部,如图(2),其余条件不变,请探究与的关系(数量关系和位置关系),并证明你的结论;
(3)【拓展应用】连接图(1)中如图(3),若,请直接写出四边形的面积.
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2022-10-26更新
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239次组卷
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4卷引用:贵州省遵义市第三十二中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题
贵州省遵义市第三十二中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(已下线)第1章 勾股定理(单元测试·综合卷)-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)(已下线)第3章 勾股定理(单元测试·综合卷)-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(苏科版)山东省德州市宁津县张宅中学2023-2024学年九年级上学期第一次月月考数学试题
4 . 勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在2000多年以前,人们就开始对它进行研究,至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下,请同学们仔细阅读并解答相关问题:
如图,分别以Rt△ABC的三边为边长,向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI.
(1)连接BI、CE,求证:△ABI≌△AEC;
(2)过点B作AC的垂线,交AC于点M,交IH于点N.
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等;
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形.
(3)由第(2)题可得:正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积=______的面积;即在Rt△ABC中,AB2+BC2=______.
如图,分别以Rt△ABC的三边为边长,向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI.
(1)连接BI、CE,求证:△ABI≌△AEC;
(2)过点B作AC的垂线,交AC于点M,交IH于点N.
①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等;
②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形.
(3)由第(2)题可得:正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积=______的面积;即在Rt△ABC中,AB2+BC2=______.
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2022-04-05更新
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178次组卷
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6卷引用:江苏省无锡市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题
5 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,,,若,则的值是( )
A.6 | B.9 | C.12 | D.15 |
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6 . 在学习勾股定理时,张东同学了解到:若分别以的三边为一边向外作正方形,(如图①),设这三个正方形的面积分别为,,,则由勾股定理不难得到.于是张东同学运用类比的数学思维方法进行探究:若分别以的三边为一边向外作三个等边三角形:,,(如图②),并设其面积分别为,,.(1)请你猜测,,的数量关系并填空:_________;
(2)证明(1)中你的猜想.
(2)证明(1)中你的猜想.
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7 . 如图,这是证明勾股定理的另一种方法.梯形的面积等于两个全等的直角三角形的面积加上一个等腰直角三角形的面积,用等式表示是_________ .
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8 . 在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.(1)勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从图1,图2,图3的证明方法中任选一种来证明该定理.
(2)如图4所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为,,直角三角形面积为,请判断,,的关系并证明.
(2)如图4所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为,,直角三角形面积为,请判断,,的关系并证明.
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9 .
项目 背景 | 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究,结合本阶段学习内容知识点,他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣. |
素材一 | 毕达哥拉斯树,也叫“勾股树”.是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形,因为重复数次后的形状好似一棵树,被称为毕达哥拉斯树. |
素材二 | 经过小组讨论,制定了如下规则:1.画出不同类型三角形形成的树形图; 2.所画的基础三角形周长为,其中一条边长固定为,根据规则,三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究. |
素材三 |
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解决问题 | |
任务一 | 小明画出了锐角,,,则______. |
任务二 | 小金画出了直角,,,计算的值,并写出过程. |
任务三 | 小山画出了钝角,,,则______. |
项目总结 | |
综合以上三位同学的图形以及计算结果,小组成员大胆猜想结论:周长一定的情况下,由______三角形形成的总面积最大.(填锐角、直角或钝角).这个猜想,聪明的同学你会证明吗. |
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10 . 综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a,,斜边为c.我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形.(这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”)探究活动
(1)如图1,中间围成的小正方形的边长为__________(用含有a,b的代数式表示);根据大正方形的面积表示可以得出,,的一个等式:__________,并给出证明过程;
【证明】
初步运用
(2)利用上述的结论完成下列问题:
①直角三角形两边长分别是6,8,则第三边的平方为__________;
②如图2是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3,则正方形E的边长是__________.
一个直角三角形的两条直角边分别为a,,斜边为c.我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形.(这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”)探究活动
(1)如图1,中间围成的小正方形的边长为__________(用含有a,b的代数式表示);根据大正方形的面积表示可以得出,,的一个等式:__________,并给出证明过程;
【证明】
初步运用
(2)利用上述的结论完成下列问题:
①直角三角形两边长分别是6,8,则第三边的平方为__________;
②如图2是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3,则正方形E的边长是__________.
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