1 . 填空及解答：

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1)图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．

证明：由等面积法知：

____________

____________，得证．

                  

(2)应用勾股定理

应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．

如图2，①在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．

②在数轴上找出表示4的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以表示数1的点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______．

应用场景2——解决实际问题．

如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．

2 . 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．

(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则：            ，            ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知            （化简），故验证了勾股定理．
(2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长；
(3)如图1，，，直接写出的值．

3 . 下面四幅图中不能证明勾股定理的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ）

A．	B．
C．	D．

6 . 课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号）
   

7 . 我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．

(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；
(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．

8 . 我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：．

(1)在图②，若，，则           ；
(2)观察图②，利用面积与代数恒等式的关系，试说明的正确性．其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上；
(3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长．

9 . 动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！

(1)如图，两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式，
请你写出来：面积等式为____________，结论为____________；
(2)边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以．
当时，如图，______；
当______时，；
对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______（用含的代数式表示）．

10 . 如图，直角三角形，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．．

(1)求证：；
(2)若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．