1 . 综合与实践：
【课堂探究】在一堂主题为“几何翻折问题的拓展与深化”的数学公开课上，王老师给同学们每个人下发了一张平行四边形纸片，并且给出了一些数据（如图1），并提出，其中平行四边形两边所成的锐角的正切值为
．
（1）为了课堂的顺利进行，王老师先让同学们求出了
_____°；
【实践操作】数学课开始后，王老师让同学们在小组内先动手实践操作，对平行四边形进行翻折探究翻折后图形的性质．在同学们动手实践的过程中，王老师随机挑选了一个小组的操作成果（如图2）并进行展示，接着将其抽象为了一个数学问题．
（2）如图2，在（1）的条件下，点
在
上运动，点
在
上运动，点
为
沿着翻折后点
的对应点．求证：当M是中点时，点落在
边的中线上；
【思考讨论】同学们经过思考后，纷纷给出了自己对于这个问题的看法．王老师非常高兴，继续将问题进行了深入．
（3）如图3，连接
，
，
，延长至
，连接
，
．若
，
，求证：
平分
；
【学以致用】同学们经过本课的学习，对图形再次进行深入挖掘，在原来的基础上设问：
（4）在（3）的条件下，请直接写出
的正切值．
【课堂探究】在一堂主题为“几何翻折问题的拓展与深化”的数学公开课上，王老师给同学们每个人下发了一张平行四边形纸片，并且给出了一些数据（如图1），并提出，其中平行四边形两边所成的锐角的正切值为
．
（1）为了课堂的顺利进行，王老师先让同学们求出了
_____°；【实践操作】数学课开始后，王老师让同学们在小组内先动手实践操作，对平行四边形进行翻折探究翻折后图形的性质．在同学们动手实践的过程中，王老师随机挑选了一个小组的操作成果（如图2）并进行展示，接着将其抽象为了一个数学问题．
（2）如图2，在（1）的条件下，点
在上运动，点在上运动，点为沿着翻折后点的对应点．求证：当M是中点时，点落在边的中线上；【思考讨论】同学们经过思考后，纷纷给出了自己对于这个问题的看法．王老师非常高兴，继续将问题进行了深入．
（3）如图3，连接
，，，延长至，连接，．若，，求证：平分；【学以致用】同学们经过本课的学习，对图形再次进行深入挖掘，在原来的基础上设问：
（4）在（3）的条件下，请直接写出
的正切值．
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名校
2 . 如图，已知四边形
的对角线
、
交于点O，
，
且
．是菱形；
(2)E为
上一点，连接BE，若
，
，
，求的长．
的对角线、交于点O，，且．
是菱形；(2)E为
上一点，连接BE，若，，，求的长．
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3 . 如图，在
中，
和
的角平分线
与
交于点
，且点恰好在边
上．为的中点；
(2)点为的中点，连接
，交于点
，求证：
．
中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．
为的中点；(2)点
为的中点，连接，交于点，求证：．
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4 . 如图，在平行四边形中，是对角线．的垂直平分线
，分别交，，于点，
，，连接
，
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断
与
的数量关系，并说明理由．
中，是对角线．
的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；(2)试判断
与的数量关系，并说明理由．
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5 . 如图，在
中，
是上一点，连结
，分别以
为边作
，连结
．则的最小值为______ ．
中，是上一点，连结，分别以为边作，连结．则的最小值为
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6 . 如图，在平行四边形中，平分
，交于点E，平分
，交于点F．求证：
．
中，平分，交于点E，平分，交于点F．求证：．
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7 . 如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且
，
，连接
，
．
．
(2)连接交于点，若
，
，求的长．
、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，．
．(2)连接
交于点，若，，求的长．
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名校
8 . 如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且
，
求证：
．
的对角线上两点，且，求证：
．
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9 . 如图所示，在平行四边形中，
，垂足分别为
．求证：
．
中，，垂足分别为．求证：．
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名校
10 . 【感知】如图
，在平行四边形中，对角线
相交于点，过点的直线分别交边
于点
，易证：
（不需要证明）；
【探究】如图
，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边
的延长线于，求证：；
【应用】连接图中的
，其它条件不变，如图
，若
，
的面积为
，则四边形
的面积为__________．
，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）；【探究】如图
，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：；【应用】连接图
中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．
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