1 . 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，．求平行四边形的周长．

2 . 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥

3 . 如图，在中，于点E，于点F，且．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的面积．

4 . 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则菱形的面积为         ．

5 . 如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F．

(1)求证：；
(2)若与交于点O，求证：．

6 . 如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．

   

7 . 如图，在平行四边形中，延长至点F使，连接交于点E．

(1)求证：点E是线段的中点；
(2)连接，若，，求的长．

8 . 在平行四边形中，已知．

   

(1)尺规作图：作的平分线交于点E，在上截取，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是菱形．

9 . 如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：．

10 . 如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．