1 . 在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点
旋转一个角度
，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为
，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作
；若逆时针旋转，记作
．
例如：如图①，先将
绕点
逆时针旋转
，得到
，再将以点为位似中心缩小到原来的
，得到
，这个变换记作
．经过
得到
，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过
得到
，经过
得到
，连接
，
．求证：四边形
是平行四边形．
(3)如图④，在中，
，
，
．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点
（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出的长．
旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作．例如：如图①，先将
绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作．
经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）(2)如图③，
经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．(3)如图④，在
中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形．Ⅰ．用尺规作出点
（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出
的长．
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2024-06-11更新
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143次组卷
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6卷引用：2023年江苏省南京市中考数学模拟预测题
2023年江苏省南京市中考数学模拟预测题（已下线）热点07 相似三角形（7大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）专题08 几何作图问题2-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（江苏专用）（已下线）题型02 相似三角形的应用-2（已下线）培优冲刺01 三角形中的常见模型综合训练（14模型）-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关（全国通用）数学（江苏南京卷）-【试题猜想】2024年中考考前最后一卷
2 . 综合与实践
问题情境：
四边形
是边长为
的正方形，分别以
为边向正方形外侧构造两个等边三角形
和
．将
沿射线
平移得到
，点A、B、E的对应点分别为
、
、
，连接
，
．
(1)如图1，当点位于边上时，试判断四边形
的形状，并证明．
(2)如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离．
(3)拓展创新：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转一定角度得到
，点，的对应点分别为
，
，连接
．当
时，请直接写出的长．
问题情境：
四边形
是边长为的正方形，分别以为边向正方形外侧构造两个等边三角形和．将沿射线平移得到，点A、B、E的对应点分别为、、，连接，．
(1)如图1，当点
位于边上时，试判断四边形的形状，并证明．(2)如图2，当四边形
为矩形时，求平移的距离．(3)拓展创新：在（2）的条件下，将
绕点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，连接．当时，请直接写出的长．
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2024·河南驻马店·三模
3 . 综合与实践．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，
，
，
，
为斜边
的中点，将与全等的绕点旋转得到
．
操作发现：
（1）如图①，顺时针旋转一定角度，记
和
分别与
交于点E，F，当
时，猜想
和
的数量关系为______，并证明你的猜想；
（2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接
，试判断四边形
的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）在整个旋转过程中，当在
下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线
于点H，连接
，请直接写出的长．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在
中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到．操作发现：
（1）如图①，顺时针旋转一定角度，记
和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想；（2）如图②，继续旋转一定角度，当线段
经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；实践探究：
（3）在整个旋转过程中，当
在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长．
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4 . 如图，在矩形中，
，分别过点，作
，
交于点
，
，连结
，
．
为平行四边形．
(2)分别取，的中点
，
，连结
，
．若
，求四边形
的面积．
中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
为平行四边形．(2)分别取
，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
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5 . 如图，在梯形中，
，
，与对角线交于点，
，且
．
是菱形；
(2)连接
，如果
，求证：
．
中，，，与对角线交于点，，且．
是菱形；(2)连接
，如果，求证：．
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6 . 如图①，点D为
上方一动点，且
．
左侧构造
，连接
，请证明
；
(2)如图②，在左侧构造，在
右侧构造
，连接
求证：四边形
是平行四边形；
(3)如图③，当满足
，
，
．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形；
（Ⅰ）求证：四边形是矩形；
（Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段
的最大值．
上方一动点，且．
左侧构造，连接，请证明；(2)如图②，在
左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形；(3)如图③，当
满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形；（Ⅰ）求证：四边形
是矩形；（Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段
的最大值．
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2024-05-27更新
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286次组卷
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3卷引用：四川省成都市龙泉驿区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
7 . 已知：如图，四边形
中，
，点在边
上，
与
的延长线交于点，
．为平行四边形；
(2)联结
，分别延长、
交于点
，如果
，求证：
．
中，，点在边上，与的延长线交于点，．
为平行四边形；(2)联结
，分别延长、交于点，如果，求证：．
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8 . 如图，已知：等腰梯形中，
，
，以A为圆心，
为半径的圆与相交于点E，与
相交于点F，联结
，设
分别与相交于点G、H，其中H是的中点．
为平行四边形；
(2)如图1，如果
，求
的值；
(3)如图2，如果
，求
的余弦值．
中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．
为平行四边形；(2)如图1，如果
，求的值；(3)如图2，如果
，求的余弦值．
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2024-05-12更新
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311次组卷
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3卷引用：2024年上海市金山区中考二模数学试题
2024年上海市金山区中考二模数学试题2024年湖南省益阳市沅江市两校联考中考二模数学试题（已下线）专题14 压轴25题几何综合题60题专练（含上海24年最新模拟题）-2024年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）
2024九年级下·全国·专题练习
9 . 如图（1）所示，已知在中，
，
在边上，点是边
中点，以为圆心，为半径的圆分别交
，于点，，连接交
于点．
，求证：四边形
为平行四边形；
(2)如图（2）所示，连接
，如果
，
，
，求边的长；
(3)连接
，如果
是以为腰的等腰三角形，且
，求
的值．
中，，在边上，点是边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点．
，求证：四边形为平行四边形；(2)如图（2）所示，连接
，如果，，，求边的长；(3)连接
，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
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2024-05-12更新
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188次组卷
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3卷引用：重难点05 圆的综合压轴题（6大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）
（已下线）重难点05 圆的综合压轴题（6大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）重难点05 几何压轴综合(8大题型+满分技巧+限时分层检测)-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）专题05 圆（5大热点题型）（含24年上海最新模拟题）-2024年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）
10 . 综合实践课上，老师让同学们进行了
的折纸游戏，E是边上的一动点，F是边上的一动点，将沿直线折叠，使点C落在边上的点
处，点D的对应点为点
，连接
．
如图1，若
，
，
__________，
_________
．
(2)操作探究
如图2，当点落在BA的延长线上时，求证：四边形
为平行四边形．
(3)拓展探究
如图3，若
，
，
，E是边上的一动点，F是边上的一动点，在折叠过程中，要使点始终落在边上（含A，B点），请直接写出
的取值范围．
的折纸游戏，E是边上的一动点，F是边上的一动点，将沿直线折叠，使点C落在边上的点处，点D的对应点为点，连接．
如图1，若
，，__________，_________．(2)操作探究
如图2，当点
落在BA的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．(3)拓展探究
如图3，若
，，，E是边上的一动点，F是边上的一动点，在折叠过程中，要使点始终落在边上（含A，B点），请直接写出的取值范围．
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