1 . 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，

   

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．

2 . 如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子．

(1)求点A，C的坐标；
(2)求出点E的坐标和直线的函数解析式；
(3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.

   

(1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？

4 . 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．

5 . 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点A作于点H，已知，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在菱形中，若，，过点作于点．

(1)菱形的面积为      ．
(2)求的长．
(3)过点作，垂足为，求四边形的面积．

7 . 阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
(1)如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）．

(2)宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调．匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步   在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步   如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步   如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处．
第四步   展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形．
问题解决：

①图中（保留根号）；
②请写出图中所有的黄金矩形：，并证明；
③请结合图，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并证明．

8 . 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（       ）

A．

B．

C．4

D．8

9 . 如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接交于点，连接．

(1)求证：；
(2)已知，若，求的长．