5 . （1）【问题探究】
如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：
（2）【知识迁移】
如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值．
（3）【拓展应用】
如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长．

6 . 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，．

（1）操作发现 ：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，
①_________，
②设，则_________（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的是黄金三角形．
如图2，在菱形中，，则菱形较长对角线的长_________．

7 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．
   

9 . 问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．

问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：：
（2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系．
问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____

10 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，李老师发给每名同学一个菱形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现：奋进小组在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示．
如图2，小明发现，当点F落在边上时，．
如图3，小红发现，当点E是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
问题提出与解决：奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点F在边上时，求证：．
（2）如图3，当点E是的中点时，连接，若，，求的长．
拓展延伸：小刚受到探究过程的启发，将改为锐角；尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．