2 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，李老师发给每名同学一个菱形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现：奋进小组在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示．
如图2，小明发现，当点F落在边上时，．
如图3，小红发现，当点E是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
问题提出与解决：奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点F在边上时，求证：．
（2）如图3，当点E是的中点时，连接，若，，求的长．
拓展延伸：小刚受到探究过程的启发，将改为锐角；尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．

3 . 问题背景：（1）如图1，，，，图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角；
变式运用：（2）如图2，E为外一点，，，，试探究线段之间的数量关系，说明理由；
拓展创新：（3）如图3，在菱形中，，，P为上的一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点E，连接，若，则________（直接写出结果），线段________．（直接写出结果）
   

4 . 综合与实践：
问题背景：鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，．
（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，则______，设，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比．请在（1）的条件下证明：；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，．请直接写出这个菱形较长对角线的长．

8 . 问题提出：如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．

问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，求证：：
（2）再探究一般情形，如（1），试探究与的数量关系．
问题拓展：现将图（1）特殊化，如图（3），连接，若，菱形的面积为，则当点E从点B运动到点C时，线段扫过的面积为_____

9 . 综合与实践：

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，，．

(1)操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，

①______；

②设，则______（用含的式子表示）；

(2)进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
(3)拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．

如图1中的是黄金三角形．

如图2，在菱形中，，，求菱形较长对角线的长．