真题
1 . 在学习特殊的平行四边形时,我们发现正方形的对角线等于边长的倍,某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现,具体如下:如图1.(1)四边形是菱形,
,,.
.
又,,
______+______.
化简整理得______.
【类比探究】
(2)如图2.若四边形是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.【拓展应用】
(3)如图3,四边形为平行四边形,对角线,相交于点,点为的中点,点为的中点,连接,若,,,直接写出的长度.
,,.
.
又,,
______+______.
化简整理得______.
【类比探究】
(2)如图2.若四边形是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.【拓展应用】
(3)如图3,四边形为平行四边形,对角线,相交于点,点为的中点,点为的中点,连接,若,,,直接写出的长度.
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2 . 综合与实践
在四边形中,将边绕点顺时针旋转至(),的角平分线所在直线与直线相交于点,与边或边交于点.
【特例感知】
(1)如图1,若四边形是正方形,旋转角,则_____.
【类比迁移】
(2)如图2,若四边形是正方形且,试探究在旋转的过程中的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;
【拓展应用】
(3)如图3,若四边形是菱形,,,在旋转的过程中,当线段与线段存在倍的关系时,请直接写出的长.
在四边形中,将边绕点顺时针旋转至(),的角平分线所在直线与直线相交于点,与边或边交于点.
【特例感知】
(1)如图1,若四边形是正方形,旋转角,则_____.
【类比迁移】
(2)如图2,若四边形是正方形且,试探究在旋转的过程中的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;
【拓展应用】
(3)如图3,若四边形是菱形,,,在旋转的过程中,当线段与线段存在倍的关系时,请直接写出的长.
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3 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边(“勾”)与较长直角边(“股”)的长度,那么,以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得.(我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”)
其文如下:
题:今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?
答:方三步,十七分步之九.
术:并勾、股为法,勾股相乘为实,实如法而一,得方一步.
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题:一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12,它的“勾容正方形”的边长是多少?
答案:
解法:
(1)问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系,请提出一个数学命题,并证明;
(2)类比探究
“勾股容圆”:一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12,它的内切圆的半径是多少?
(3)拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览,举办方在某广场搭建了一个展馆(平面示意图为正方形),并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区,规划方案如图所示,其中,是的中点,点,在边上,垂直平分,垂足为,.
今年,为了让更多人参与,举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆,该菱形场地面积为,且两条对角线长度之和为,考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素,若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案,则展馆的建设需满足以下要求:①展馆平面示意图中的A,B,C,D四个点分别落在菱形场地的四条边上;②展馆主入口的宽度为,去年的规划方案是否可行?请说明理由.
其文如下:
题:今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?
答:方三步,十七分步之九.
术:并勾、股为法,勾股相乘为实,实如法而一,得方一步.
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题:一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12,它的“勾容正方形”的边长是多少?
答案:
解法:
(1)问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系,请提出一个数学命题,并证明;
(2)类比探究
“勾股容圆”:一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12,它的内切圆的半径是多少?
(3)拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览,举办方在某广场搭建了一个展馆(平面示意图为正方形),并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区,规划方案如图所示,其中,是的中点,点,在边上,垂直平分,垂足为,.
今年,为了让更多人参与,举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆,该菱形场地面积为,且两条对角线长度之和为,考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素,若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案,则展馆的建设需满足以下要求:①展馆平面示意图中的A,B,C,D四个点分别落在菱形场地的四条边上;②展馆主入口的宽度为,去年的规划方案是否可行?请说明理由.
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4 . 【探究发现】
()如图,在正方形中,是边上一点(不与端点重合),为延长线上一点,且,连接,点在线段上,且,连接.
求证:;
【类比迁移】
()如图,在矩形中,是边上一点(不与端点重合),为延长线上一点,且,连接,点在线段上,且,连接.求证:;
【拓展提高】
()如图,在菱形中,是边上一点(不与端点重合),为延长线上一点,且,连接,点在线段上,且,连接.若,求的长.
()如图,在正方形中,是边上一点(不与端点重合),为延长线上一点,且,连接,点在线段上,且,连接.
求证:;
【类比迁移】
()如图,在矩形中,是边上一点(不与端点重合),为延长线上一点,且,连接,点在线段上,且,连接.求证:;
【拓展提高】
()如图,在菱形中,是边上一点(不与端点重合),为延长线上一点,且,连接,点在线段上,且,连接.若,求的长.
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5 . 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动.
第一步:每人制作边长都为7的菱形纸片若干个,四个顶点为A、B、C、D(为保持一致,活动中, 小组内制作图形各点名称命名规则相同);
第二步∶在边上分别取点M、N(不含端点),将四边形 沿翻折,使线段的对应线段经过顶点 D(点A、B分别与点 E、F对应).
操作判断(1)智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形,若则______.
迁移探究
(2)缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示,已知求的长;
拓展延伸
(3)创新小组按上述步骤折叠后,要使是以为直角边的直角三角形,请你在图3 中帮他们画出满足条件的图形(草图即可),并求出对应的的长.
第一步:每人制作边长都为7的菱形纸片若干个,四个顶点为A、B、C、D(为保持一致,活动中, 小组内制作图形各点名称命名规则相同);
第二步∶在边上分别取点M、N(不含端点),将四边形 沿翻折,使线段的对应线段经过顶点 D(点A、B分别与点 E、F对应).
操作判断(1)智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形,若则______.
迁移探究
(2)缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示,已知求的长;
拓展延伸
(3)创新小组按上述步骤折叠后,要使是以为直角边的直角三角形,请你在图3 中帮他们画出满足条件的图形(草图即可),并求出对应的的长.
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6 . 综合与探究
探究任务:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
探究过程
(1)分析命题写出已知,求证,画出图形;
已知:如图1,在三角形中,为中线, .
求证: .任务一:请把上面横线中的内容补充完整;
任务二:请根据图1写出证明过程;
(2)证明:
拓展应用
(3)在图1的基础上,将沿着折叠得到,连接,若四边形是菱形,,请求出的面积.
探究任务:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
探究过程
(1)分析命题写出已知,求证,画出图形;
已知:如图1,在三角形中,为中线, .
求证: .任务一:请把上面横线中的内容补充完整;
任务二:请根据图1写出证明过程;
(2)证明:
拓展应用
(3)在图1的基础上,将沿着折叠得到,连接,若四边形是菱形,,请求出的面积.
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7 . (1)【问题探究】
如图1,于点B,于点C,交于点D,求证:
(2)【知识迁移】
如图2,在矩形中,E是上的一点,作交于点F,,若,,求的值.
(3)【拓展应用】
如图3,菱形的边长为5,,E为上的一点,过D作E交于点F,交于点G,且,求的长.
如图1,于点B,于点C,交于点D,求证:
(2)【知识迁移】
如图2,在矩形中,E是上的一点,作交于点F,,若,,求的值.
(3)【拓展应用】
如图3,菱形的边长为5,,E为上的一点,过D作E交于点F,交于点G,且,求的长.
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名校
8 . 【教材回顾】
(1)苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题:如图1,的顶点 O在正方形两条对角线的交点处,, 将绕点O旋转,的两边分别与正方形的边边和交于点和点(点与点,不重合),问:在旋转过程中,与具有怎样的数量关系?
爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路:
小歆:考虑到正方形对角线的特征,过点O分别作于点G,于点H,即可通过证明三角形全等得到与的数量关系.
小涵:利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等,可以得到与的数量关系.
通过他们的思路点拨,你认为与的数量关系为 ,并请选择一种思路去证明;
【类比探究】
(2) 如图2, 若将(1) 中的“正方形”改为“的菱形”, 其他条件不变,当时,判断以下结论正确的有 (填写所有正确的结论序号),并选择一个正确的结论去证明.
①; ②;
③四边形的周长为定值; ④四边形的面积为定值.
【拓展应用】
(3) 如图3, 学校内有一块四边形的花圃, 满足, ,, 花圃内铺设了一条小路, 平分, 为方便学生赏花, 现计划修建一条径直的通道与小路相连,且,入口点E恰好在的延长线上.直接写出入口到点 A 的距离的长 .
(1)苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题:如图1,的顶点 O在正方形两条对角线的交点处,, 将绕点O旋转,的两边分别与正方形的边边和交于点和点(点与点,不重合),问:在旋转过程中,与具有怎样的数量关系?
爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路:
小歆:考虑到正方形对角线的特征,过点O分别作于点G,于点H,即可通过证明三角形全等得到与的数量关系.
小涵:利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等,可以得到与的数量关系.
通过他们的思路点拨,你认为与的数量关系为 ,并请选择一种思路去证明;
【类比探究】
(2) 如图2, 若将(1) 中的“正方形”改为“的菱形”, 其他条件不变,当时,判断以下结论正确的有 (填写所有正确的结论序号),并选择一个正确的结论去证明.
①; ②;
③四边形的周长为定值; ④四边形的面积为定值.
【拓展应用】
(3) 如图3, 学校内有一块四边形的花圃, 满足, ,, 花圃内铺设了一条小路, 平分, 为方便学生赏花, 现计划修建一条径直的通道与小路相连,且,入口点E恰好在的延长线上.直接写出入口到点 A 的距离的长 .
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名校
9 . 综合与实践:
问题背景:数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形,对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.
探究发现:如图1,在中,.
(1)操作发现 :将折叠,使边落在边上,点的对应点是点,折痕交于点,连接,
①_________,
②设,则_________(用含的式子表示);
(2)进一步探究发现:,这个比值被称为黄金比.请你在(1)的条件下,证明:.
拓展应用:当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.
如图1中的是黄金三角形.
如图2,在菱形中,,则菱形较长对角线的长_________.
问题背景:数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形,对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.
探究发现:如图1,在中,.
(1)操作发现 :将折叠,使边落在边上,点的对应点是点,折痕交于点,连接,
①_________,
②设,则_________(用含的式子表示);
(2)进一步探究发现:,这个比值被称为黄金比.请你在(1)的条件下,证明:.
拓展应用:当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.
如图1中的是黄金三角形.
如图2,在菱形中,,则菱形较长对角线的长_________.
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10 . 综合与实践
数学活动课上,同学们用尺规作图法探究用菱形一条对角线来作菱形.如图,是菱形的一条对角线,且顶点在射线上.(1)[动手操作]请用尺规把这个菱形补充完整.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)[拓展延伸]若,,求菱形的面积.
数学活动课上,同学们用尺规作图法探究用菱形一条对角线来作菱形.如图,是菱形的一条对角线,且顶点在射线上.(1)[动手操作]请用尺规把这个菱形补充完整.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)[拓展延伸]若,,求菱形的面积.
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