1 . 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，．

（1）操作发现 ：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，
①_________，
②设，则_________（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的是黄金三角形．
如图2，在菱形中，，则菱形较长对角线的长_________．

2 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，李老师发给每名同学一个菱形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现：奋进小组在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示．
如图2，小明发现，当点F落在边上时，．
如图3，小红发现，当点E是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
问题提出与解决：奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点F在边上时，求证：．
（2）如图3，当点E是的中点时，连接，若，，求的长．
拓展延伸：小刚受到探究过程的启发，将改为锐角；尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．

3 . 综合与实践：

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，，．

(1)操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，

①______；

②设，则______（用含的式子表示）；

(2)进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
(3)拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．

如图1中的是黄金三角形．

如图2，在菱形中，，，求菱形较长对角线的长．

5 . （1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与的延长线交于点F，连接，．
   
①小明探究发现：当点E在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长交于点．
②进一步探究发现，当点与点F重合时，___________．
（2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点D关于的对称点，的延长线与BC的延长线交于点F，连接，，，当，，时，求的长；
（3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．

7 . 【基础巩固】
（1）如图1，在中，D为上一点，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形的边长．
     

8 . 【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．

9 . 【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长．