1 . 如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线叠，点落在点处，点落在点处，与交于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．

2 . 如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点．

(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，，求四边形的周长．

3 . 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．

4 . 如图，在中，，，点D，E，F分别为，，的中点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．

6 . 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，．的中点为的中点为，连接．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求的长．

7 . 如图，在中，，，．求证：平分．

   

8 . 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

   

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

   

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
(1)填空1：________________；填空2：________________
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(4)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

   

9 . 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．

   

10 . 如图，在中，点分别在边上，连接，且．请从下面三个条件:①②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形，写出证明过程．