1 . 如图，在中，直线垂直平分，分别交，于点M，N，求证：四边形为菱形．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．

(1)当点在第四象限时（如图1），求证：．
(2)当点落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形中，，平分，则四边形是近似菱形．

(1)请在图2中作出一个以为对角线的“近似菱形”，顶点A、顶点C要在网格格点上．
(2)如图3，在四边形中，，，，求证：四边形是“近似菱形”．
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．

4 . 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，．

(1)求证：．
(2)若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）．

5 . 如图，将矩形折叠，使点、重合，折痕分别与、、相交于点、、，连接、．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)若矩形的边，求菱形的边长．

6 . 综合与实践

【问题情境】
如图，在中，，．
（1）如图1，若点在边上，．将沿所在直线折叠，点的对应点为点．试猜想四边形的形状并加以证明．
【数学思考】
（2）如图2，勤学小组受此问题启发，将沿过点的直线折叠，点的对应点为点，且点恰好落在边上．若，，求的长．
【问题解决】
（3）如图3，善思小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，若，，，直接写出的长．

7 . 如图，先有一张矩形纸片，，，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：
①；
②四边形是菱形；
③重合时，；
④的面积的取值范围是．其中正确的有（       ）．

A．个

B．个

C．个

D．个

8 . 如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．

(1)求的长；
(2)若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．

10 . 如图，四边形是的内接四边形，是直径，过点 C作交的延长线于点，且为的切线．

(1)求证∶C是的中点；
(2)连接，当          时，四边形为菱形．