1 . 凡奥贝尔定理是数学中的一个重要定理，凡·奥贝尔（）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形的边为边向外作四个正方形，四边形，四边形，四边形，四边形，与相交于点R，与相交于点N，其中心分别为，连接相交于点P，证明：．
证明过程如下：
连接，取的中点M，连接，
四边形，四边形是正方形



在和中



在和中


为的中点，M为的中点
（依据①）
同理

同理可得：____________________

，

……

(1)补全材料：同理可得：__________
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知，分别，，为边向外作正方形，，，点分别是正方形，，的对角线交点，连接其中，则四边形的面积为__________．

4 . 在正方形ABCD中，E为DC右侧一动点，DE＝DC，连接AE，过点A作直线EC的垂线，垂足为P．

(1)若∠CDE＝20°，如图1，求∠DAE的度数；
(2)若90°＜∠CDE＜180°，依题意在图2中补全图形；
①连接PD，探究∠BAP与∠CDP之间的数量关系，并加以证明；
②连接BP，猜想线段AP，DP和PB之间的数量关系并证明．

5 . 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．

9 . 已知：点是正方形对角线的交点，是平面内一点（不与点重合），连接，将以为中心，逆时针旋转90度，得到线段，连接，．、分别是，的中点，连接，．

（1）在图1中补全图形；
（2）直接写出图1中______°；
（3）当点在正方形外，当时，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（4）如图2，若，，点是中点，点是线段上的一个动点，在点绕点旋转的过程中，线段长度的最小值为______，最大值为______．

10 . 综合与实践
问题情境：如图1，正方形纸片和有公共顶点，其中.将正方形绕点按顺时针方向旋转．          
观察发现：
(1)如图2，当时，连接，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是______________，位置关系是__________________.
探索研究：
(2)当三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时的长度.
拓展延伸：
(3)猜想图3中与的数量关系并证明.