1 . 凡奥贝尔定理是数学中的一个重要定理，凡·奥贝尔（）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形的边为边向外作四个正方形，四边形，四边形，四边形，四边形，与相交于点R，与相交于点N，其中心分别为，连接相交于点P，证明：．
证明过程如下：
连接，取的中点M，连接，
四边形，四边形是正方形



在和中



在和中


为的中点，M为的中点
（依据①）
同理

同理可得：____________________

，

……

(1)补全材料：同理可得：__________
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知，分别，，为边向外作正方形，，，点分别是正方形，，的对角线交点，连接其中，则四边形的面积为__________．

2 . 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，且，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，连接，，点M、N分别为边的中点，连接，求线段的长；
【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区，经测量，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得，连接并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由．

3 . 如图1，正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的外侧作正方形，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接．

(1)填空：当时，线段长的最大值是　　　　；
(2)在正方形的边上，是否存在一点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由；
(3)如图2．连接并延长，与交于点O．求的度数，并求出与的数量关系．

4 . 已知正方形，是边上一点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)如图1，连接，则线段之间有怎样的数量关系：                                                                 （直接写出结论）；
(2)如图2，如果过点作交的延长线于点，那么，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，求的长．

5 . 如图，，是正方形边，上点，．

(1)在图（1）中，延长至点，使，并连接，求证：；
(2)在图（2）中，若，求值；
(3)在图（1）中，连接分别交，于点，，求的值．

6 . 数学实验活动：两个正方形纸片的摆放．
将两个边长为的正方形纸片、按图①方式进行摆放后，得到了8个阴影三角形，这些三角形的周长会有怎样的特点呢？数学实验小组经过探究，有了如下3个发现：

发现1：图①中的8个阴影三角形的周长之和是一个定值，这个定值为_______；
发现2：将两个正方形按图②方式进行摆放，其中经过点，且与、都相交，交点分别为、，则图中的阴影三角形（）的周长是一个定值，请你求出这个值；
发现3：在图②的情形下，按图③方式平移正方形纸片，使得分别与、相交于点、，分别与、相交于点、，则图中的2个阴影三角形（与）的周长之和也是一个定值，请你求出这个值．

7 . 正方形边长为6，点E是边上的动点，连接，交于点P，过点A作，交于点F、Q，过点B作于点G，交于点H，连接．以下说法：①当时，点F为的中点；②当时；③；④点E运动过程中，有最小值6．其中结论正确的有（       ）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

8 . 综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度．

9 . 如图，在四边形中，点，分别在边，上．连接，，，．

(1)【实践探究】如图①，四边形是正方形．
（ⅰ）若，，求的余弦值；
（ⅱ）若，求证：是的中点；
(2)【拓展】如图②，四边形是直角梯形，，，，，，求的长．

10 . 如图，是正方形外一点，连接交于点．连接，，且．

(1)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)求证：平分；
(3)如备用图，过点作于点，分别交，于点，，连接，若．求的值．