1 . 如图.已知是的直径,弦于点,点为上一点,连结并延长交的延长线于点,连结.(1)求证:.
(2)若,
①求的值;
②当与的面积之比为时,求的值.
(3)若,求的值.
(2)若,
①求的值;
②当与的面积之比为时,求的值.
(3)若,求的值.
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2 . 【问题提出】
(1)如图①,四边形内接于,若,则的度数为 ;
【问题探究】
(2)如图②,在锐角中,是边上的高,是的中线,.若,求的长;
【问题解决】
(3)如图③,现有一块四边形梯田米,米,米,为上的一个取水点,且米,为两条灌溉水渠,为方便观察梯田灌溉情况,工作人员计划在水渠上找一点,沿修一条小路,并要求.工作人员按照如下方法操作:①以点,为圆心,适当长为半径画弧交于点;
②分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点;
③连接交于点.
按照上述方法操作,找到的点位置是否符合要求?若符合要求,请求出此时小路的长;若不符合要求,请说明理由.
(1)如图①,四边形内接于,若,则的度数为 ;
【问题探究】
(2)如图②,在锐角中,是边上的高,是的中线,.若,求的长;
【问题解决】
(3)如图③,现有一块四边形梯田米,米,米,为上的一个取水点,且米,为两条灌溉水渠,为方便观察梯田灌溉情况,工作人员计划在水渠上找一点,沿修一条小路,并要求.工作人员按照如下方法操作:①以点,为圆心,适当长为半径画弧交于点;
②分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点;
③连接交于点.
按照上述方法操作,找到的点位置是否符合要求?若符合要求,请求出此时小路的长;若不符合要求,请说明理由.
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3 . 如图,在由小正方形组成的的网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,图中、、为格点,仅用无刻度直尺按要求作图:(1)在图1中,将线段绕某一点旋转得到线段(其中点 和点 对应 ),画出线段;延长交于点,在上找点,使得的值最小;
(2)在图2中,找点,使得;找一格点使得(找出一个即可 ).
(2)在图2中,找点,使得;找一格点使得(
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4 . 如图1,是半圆O的直径, 点A 是半圆上任一点(不与点B, C重合), 连接, 点D 是的中点,点E在直径上, 且. (1)求证: ;
(2)设半圆半径为3, 求的长度;
(3)如图2, 连接, ,
①当点E在半径上时,求证: ;
②当的长度是半径的一半时,直接写出 的值.
(2)设半圆半径为3, 求的长度;
(3)如图2, 连接, ,
①当点E在半径上时,求证: ;
②当的长度是半径的一半时,直接写出 的值.
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5 . 如图,四边形是的内接四边形,,点在弦上(不与端点重合),,过点作,垂足在延长线上,连接CE.
(2)若,求证:直线是的切线;
(3)过点作交于点,交于点,连接,猜想和有怎样的数量关系,请证明你的结论.
(1)求的半径长;
(2)若,求证:直线是的切线;
(3)过点作交于点,交于点,连接,猜想和有怎样的数量关系,请证明你的结论.
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名校
6 . 如图,四边形内接于,连接,,.
(1)如图1,求证:是的直径;(2)如图2,点E在弧上,连接,过点E作的切线交的延长线于点F,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,若,,,求线段的长.
(1)如图1,求证:是的直径;(2)如图2,点E在弧上,连接,过点E作的切线交的延长线于点F,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,若,,,求线段的长.
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名校
7 . 已知:如图四边形是的内接四边形,的延长线交于点E,.(1)如图1,求证:是等腰三角形;
(2)如图2,若是的直径,点F在线段上,,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接并延长交于点H,垂足为点M,交的延长线于点F,时,求的值.
(2)如图2,若是的直径,点F在线段上,,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接并延长交于点H,垂足为点M,交的延长线于点F,时,求的值.
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8 . 【问题发现】(1)如图1,在正方形中,E为对角线上的动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两条垂线交于点F,连接,求证:.
【类比探究】(2)如图2,在矩形中,E为对角线上动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两垂线交于点F,,连接,求的值.
.【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,将点E改为射线上的动点,其余条件不变,取线段的中点M,连接,.若,则当时,请求出的长.
【类比探究】(2)如图2,在矩形中,E为对角线上动点,过点B作的垂线,过点C作的垂线,两垂线交于点F,,连接,求的值.
.【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下,将点E改为射线上的动点,其余条件不变,取线段的中点M,连接,.若,则当时,请求出的长.
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9 . 已知:点P是外一点.(1)尺规作图:如图,以为直径作交于E,F两点,连接,,;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:,是的切线;
(3)在(1)(2)的条件下,若点D在上(点D不与E,F两点重合),且,则的度数为 .
(2)在(1)的条件下,求证:,是的切线;
(3)在(1)(2)的条件下,若点D在上(点D不与E,F两点重合),且,则的度数为 .
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10 . 如图,是的内接三角形,.(1)仅用圆规 在直线下方的圆弧上求作一点D,使点D到点B,点C的距离相等;(保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接交于E,若,,求的长.
(2)在(1)的条件下,连接交于E,若,,求的长.
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