1 . 实践与探究：
在中，．设，若要证明，小明和小红两个同学分别做了以下尝试：
小明的思路

如图①，延长至点D，使，连接． 利用， 得出， 因为 得出 即 从而证明

小红的思路

如图②，将沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接．

(1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线，保留作图痕迹，不需要写做法；
(2)请你帮助小红完成证明过程；
(3)若中，，，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围．

2 . 如图1，抛物线与x轴交点为A，B（A在B左侧），与y轴交点为C，已知．

(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，D为抛物线顶点，E为射线上的动点，过点E作，交直线于点F，若面积为2，求点E坐标；
(3)如图3，点P是第一象限内抛物线上一动点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点Q，过点A作平行于y轴的直线l，点P，Q到直线l的垂线段分别为，，当点P在抛物线上运动时，的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，说明理由．

3 . 综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动．
实践操作：
四边形是平行四边形，，，在边上取一点P，如图①，连接，点 B 关于的对称点为点，连接，．

问题解决：
(1)当与重合时，连接，则与的位置关系是          ，数量关系是           ；
(2)如图②，当 P 是中点时，连接，试求出 的值．
(3)若，当时，直接写出线段的长．

4 . 如图，在中，，，点是的中点，连接．点在的边或上（点P不与的顶点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接．

(1)点到的距离 =____________．
(2)当点与点重合时，求线段的长；
(3)当点落在的内部时，连结，求线段的长度范围；
(4)当时，直接写出线段的长．

5 . 如图1，已知四边形是矩形，，E，F是，边上的点，以直线为对称轴将矩形进行折叠，点A，B的对称点分别是G，H，点H落在边上，交于点P．

(1)如图2，当点H与点D重合时，连接，求证：四边形是菱形；
(2)当时，若，求的长；
(3)连接，若，求证：．

6 . 如图，在菱形中，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．

(1)当平分时，的度数为_______．
(2)延长，交射线于点G，当时，求的长．
(3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．

8 . 在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．

(1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是      ，点关于直线的“衍生点”是      ；
(2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；
(3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．

9 . 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，．

(1)【动手操作】
当时，根据题意，在图①上画出图形，
在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角，
第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值．

10 . 【问题提出】
（1）如图1，已知在平面直角坐标系中，点P为x轴正半轴上一动点，，，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当周长最小时，求点Q的坐标；
【问题解决】
（2）某实验室的设计平面图建立在平面直角坐标中如图2，已知坐标系中每个单位长度表示为1米，，，且满足，，现在将设计一个温度控制室，点M、N分别建立在y轴与x轴上，米，点P是温度传感收集设备且为线段的中点，线段与是两条线性传感器，由于传感器的价格昂贵，现在要满足设计要求的同时，使得最小，是否有满足条件的P，若有，求出点P坐标并说明理由，求出此时四边形的面积；若没有，请说明理由．