1 . 如图，平分为射线上任意一点（不与点重合），过点作的垂线分别交于点．
   
(1)求证：；
(2)作点关于射线的对称点，连接，在线段上取一点（不与点，点重合），作，交线段于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

2 . 如图，为等边三角形，点D在线段BA的延长线上，以DC为边在BC的上方作等边（点E与点B在DC的两侧）．

(1)求证：；
(2)点F与点E关于直线DC对称，连接，试探究与有怎样的数量关系？并证明你探究的结论．

3 . 如图1，在中，，，射线平分，点D是射线上的动点，点C和点D关于直线对称，与分别交于点E、G．请探究线段及之间的数量关系，为了解决问题，可以采用“从特殊到一般”的方法进行研究：

(1)如图2，当时，及之间有什么样的数量关系？证明你的结论；
(2)如图1，若点时及之间有什么样的数量关系？证明你的结论．
(3)如图3，若时，及之间有什么样的数量关系？请直接写出这个结论（不要求证明）

4 . 阅读与思考：
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

用全等三角形研究“筝形” 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．         根据学习几何图形的经验，我对如图1的筝形(，，)的性质和判定方法进行了探究． （1）研究图形的性质，就是探究图形的构成元素(边、角、对角线) 具有怎样的特征．通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，我首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明． 已知：如图1，在“筝形”中，，． 求证：． 证明：      我还发现了这类“筝形”的其他性质： 如图2，①垂直平分；②平分和；…     （2）继性质探究后，我又从边、角、对角线性质的逆命题等角度进行探究，得到“筝形”的判定方法有…

任务：
（1）请你完成证明过程．
已知：如图1，在“筝形”中，，．求证：．
   
（2）写出筝形的一个判定方法(定义除外)（文字语言叙述）．
（3）如图3，在中，，点D、E分别是边上的动点，当四边形为筝形时，的度数为________．
   

5 . 如图，在菱形中，，E是边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线对称，连接．作射线，交直线于点P，设．
   
(1)用含的代数式表示；
(2)连接．求证：是等边三角形；
(3)过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明．

6 . 【问题解决】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的一道例题．
如图①，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点P．
求证：，
证明：连结DE，
∵D、E分别是边、的中点，
请补全证明过程．
【结论应用】

（1）如图②，在【问题解决】的条件下，点F是线段的中点，则=______．
（2）如图③，在中，，为边的中线，点E、F分别为边、的中点，与交于点O，与交于点P．则____．
（3）如图④，在中，点E、F分别为边、的中点，与交于点O，将四边形沿着EF翻折，得到四边形，点C恰好与点A重合，点D落到点G处，连结交于点P，点M是线段上一点，连结、．若，，直接写出的最小值．

7 . 已知，如图1，在中，．

(1)求的长；
(2)作点A关于的对称点，连接．点D是线段上的一个动点，连接交于点M．的平分线交于点N，过点N作交于点H．
（ⅰ）如图2，当点D与重合，点C和点M重合时，求证：；
（ⅱ）如图3，当点D与点，B都不重合时，上述结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

8 . 在等边中，点D，E分别在边AB，BC上运动，以DE为边向右作等边，设．

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，连接CF，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；①；②CF平分；③AD，BE，CF三条线段构成以AD为斜边的直角三角形．
(3)如图2，，连接AF，BF当取得最小值时，求的值．

9 . [结论证明]
（1）证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
已知：如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．
求证：        ．
证明：

[知识应用]
如图，平面直角坐标系中，∠BAO＝30°，点A的坐标为(4，0)，C是AO的中点，D为AB上一动点，连接CD，点A关于直线CD的对称点为．
（2）当CD⊥AB时，点的坐标为        ；
（3）当C⊥AB时，求点的坐标．

10 . 如图1，在正方形 中，是对角线，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 关于直线 的对称点是点 ，射线交线段 于点 ，连接 ．

(1)当 时，
①依题意补全图1：
②求 的度数．
(2)直接写出 的大小，并证明．