1 . （1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

   

2 . 综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．

【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）

3 . “数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．
例：求的最小值．
解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．

       

【类比求值】
（1）类比上面解题思路，完成下面的填空：
①求的最小值为______；
②求（a，b，c为正数，）的最小值为______．
【解决问题】
（2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．

   

①请用（1）中的结论，求最小值是多少？
②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来．

4 . 如图，点A，C均在上，，外一点P在直线上，连接交于点B，作点B关于的对称点D，以点D为顶点作，点E在上．

(1)求证：是的切线；
(2)若平分，，求的长．

5 . 图1是第63 届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个 轴对称图形．已知，作菱形，使点H，F，G分别在上，且点E 在 上．若，则整个图形的面积为（        ）

A．

B．

C．20

D．25

6 . 【问题探究】
（）如图，已知点与点关于对称，则_______；（填“”“”或“”）
（）如图，在菱形中，点是上的点，连接；将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长；
【问题解决】
（）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）．

7 . 如图，矩形的顶点，，点C在y轴正半轴上，D是上一点，连接，作点A关于的对称点E，连接，，当时，的延长线恰好经过点B，则点B的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带，（如图）便想在公路边上找一点，安营扎寨，进行牧羊．使每天牧羊时到草地边上吃草，然后到小河边处喝水，再跑回出发地休息．为使所跑路程最短，请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置，并画出线路图．

9 . 如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为____________（用含有m的代数式表示）．

10 . 数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．

(1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积．