1 . 如图,正方形边长为8,点在对角线上运动,为上一点,,则长的最小值为______ .
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2 . 【问题探究】
()如图,已知点与点关于对称,则_______;(填“”“”或“”)
()如图,在菱形中,点是上的点,连接;将沿翻折得到,点的对应点恰好落在边上,延长,交的延长线于点.若菱形的边长为,,求的长;
【问题解决】
()如图,某地有一块形如平行四边形的空地,已知,,,园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域,用于种植珍稀树苗,且用栅栏保护.根据规划要求,点在线段上,点在线段上,且点与点关于对称,点在线段上,,求栅栏的长(即四边形的周长).
()如图,已知点与点关于对称,则_______;(填“”“”或“”)
()如图,在菱形中,点是上的点,连接;将沿翻折得到,点的对应点恰好落在边上,延长,交的延长线于点.若菱形的边长为,,求的长;
【问题解决】
()如图,某地有一块形如平行四边形的空地,已知,,,园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域,用于种植珍稀树苗,且用栅栏保护.根据规划要求,点在线段上,点在线段上,且点与点关于对称,点在线段上,,求栅栏的长(即四边形的周长).
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名校
3 . 已知:直线,分别交x轴,y轴于点A与点B.(1)直接写出点A与点B的坐标;
(2)如图1,在线段OB上有一点C,将沿直线AC折叠后,点B恰好落在x轴上的点D处,求点C的坐标;
(3)将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点P,求点P的坐标.
(2)如图1,在线段OB上有一点C,将沿直线AC折叠后,点B恰好落在x轴上的点D处,求点C的坐标;
(3)将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点P,求点P的坐标.
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4 . 数学中的轴对称就像镜子一样,可以展现出图形对称的美,初中常见的轴对称图形有:等腰三角形、菱形、圆等.如图,在等腰中,.(1)尺规作图:作关于直线对称的(保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接,交于点,若,四边形周长为,求四边形的面积.
(2)连接,交于点,若,四边形周长为,求四边形的面积.
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5 . 在平面直角坐标系 中,已知的半径为.对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义:点关于直线的对称点记为,若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”.(1)当时,已知上两点 在点, 中,点关于直线的“衍生点”是 ,点关于直线的“衍生点”是 ;
(2)为 上任意一点, 直线 与轴, 轴的交点分别为点 ,. 若线段上存在点,,使得点是点关于直线的“衍生点”,点不是点关于直线的“衍生点”,直接写出的取值范围;
(3)当时,若过原点的直线上存在线段 ,对于线段 上任意一点,都存在上的点和直线,使得点是点关于直线的“衍生点”. 将线段长度的最大值记为,对于所有的直线,直接写出的最小值.
(2)为 上任意一点, 直线 与轴, 轴的交点分别为点 ,. 若线段上存在点,,使得点是点关于直线的“衍生点”,点不是点关于直线的“衍生点”,直接写出的取值范围;
(3)当时,若过原点的直线上存在线段 ,对于线段 上任意一点,都存在上的点和直线,使得点是点关于直线的“衍生点”. 将线段长度的最大值记为,对于所有的直线,直接写出的最小值.
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6 . 如图,等边中,,点为高上的一动点,以为边作等边,连接,,则的最小值为( )
A. | B. | C. | D.5 |
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7 . 河的两岸成平行线,A,B是位于河两岸的两个车间(如图),要在河上造一座桥,使桥垂直于河岸,并且使A,B间的路程最短.确定桥的位置的方案如下:作从A到河岸的垂线,分别交河岸,于F,G.在上取,连接,交于D.在D处作到对岸的垂线,那么就是造桥的位置,请你对方案可行性给出证明.
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8 . 如图,在中,,,,为的角平分线.为边上一动点,为线段上一动点,连接、、,当取得最小值时,的面积为_____ .
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9 . 如图:直线m表示一条公路,A、B表示两所大学,要在公路m上修建一个车站P,使其到两所大学的距离之和最小,请在图上确定点P的位置.
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2024九年级下·全国·专题练习
10 . 如图,在矩形中,,点M为的中点,E是上的一点,连接,作点B关于直线的对称点,连接并延长交于点F.当最大时,点到的距离是 __ .
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